题目

【计算题】求微分方程xy'-yln y=0的通解.

【计算题】求微分方程$xy'-y\ln y=0$的通解.

题目解答

答案

为了求解微分方程 $xy' - y\ln y = 0$ 的通解，我们首先将方程改写为更方便的形式。首先，我们解出 $y'$： \[xy' = y\ln y\] \[y' = \frac{y\ln y}{x}\] 接下来，我们使用分离变量法。我们将所有包含 $y$ 的项移到方程的一边，所有包含 $x$ 的项移到另一边。为此，我们两边同时除以 $y\ln y$： \[\frac{y'}{y\ln y} = \frac{1}{x}\] 现在，我们对两边关于 $x$ 进行积分。左边可以写成关于 $y$ 的函数对 $y$ 的导数，因此我们可以使用换元积分法： \[\int \frac{y'}{y\ln y} \, dx = \int \frac{1}{y\ln y} \, dy\] 我们设 $u = \ln y$，则 $du = \frac{1}{y} \, dy$。将这些代入积分中，我们得到： \[\int \frac{1}{u} \, du = \int \frac{1}{x} \, dx\] 左边的积分是 $\ln |u|$，右边的积分是 $\ln |x|$ 加上一个常数。因此，我们有： \[\ln |\ln y| = \ln |x| + C\] 其中 $C$ 是一个常数。为了去掉对数，我们两边同时取指数： \[|\ln y| = e^{\ln |x| + C} = e^{\ln |x|} \cdot e^C = |x| \cdot e^C\] 由于 $e^C$ 是一个正的常数，我们可以将其写为另一个常数 $C_1$，其中 $C_1 = \pm e^C$。因此，我们有： \[\ln y = C_1 x\] 其中 $C_1$ 是一个常数。最后，我们两边同时取指数以解出 $y$： \[y = e^{C_1 x}\] 为了表示通解，我们通常使用 $C$ 而不是 $C_1$，因此微分方程 $xy' - y\ln y = 0$ 的通解是： \[\boxed{y = e^{Cx}}\] 其中 $C$ 是一个任意常数。

解析

本题考查一阶微分方程的求解，解题思路是通过分离变量法将方程变形，然后对两边分别积分，最后通过取指数等操作求出通解。

  1. 首先将原方程$xy' - y\ln y = 0$变形为求解$y'$的形式：
    由$xy' = y\ln y$可得$y'=\frac{y\ln y}{x}$。
  2. 接着使用分离变量法，将所有包含$y$的项移到方程的一边，所有包含$x$的项移到另一边：
    两边同时除以$y\ln y$，得到$\frac{y'}{y\ln y}=\frac{1}{x}$。
  3. 然后对两边关于$x$进行积分：
    左边$\int\frac{y'}{y\ln y}dx=\int\frac{1}{y\ln y}dy$，设$u = \ln y$，则$du=\frac{1}{y}dy$，将其代入积分中，得到$\int\frac{1}{u}du$。
    根据积分公式$\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C_1$（$C_1$为常数），将$u = \ln y$代回，得到$\ln|\ln y|+C_1$。
    右边$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C_2$（$C_2$为常数）。
    所以$\ln|\ln y|=\ln|x|+C$（$C = C_2 - C_1$为常数）。
  4. 为了去掉对数，两边同时取指数：
    因为$e^{\ln|x|+C}=e^{\ln|x|}\cdot e^C = |x|\cdot e^C$，$e^C$是一个正的常数，可将其写为另一个常数$C_1$（$C_1=\pm e^C$），所以$|\ln y| = C_1x$。
  5. 最后两边同时取指数以解出$y$：
    因为$y = e^{C_1x}$，通常用$C$表示常数，所以通解为$y = e^{Cx}$。