题目

间接测量不确定度计算在单摆测重力加速度实验中计算公式为，测得单摆的摆长，单摆的周期，用不确定度评定的方法求重力加速度的结果表达式，并写出计算过程。

间接测量不确定度计算

在单摆测重力加速度实验中计算公式为 $g=\frac{4\pi^2l}{T^2}$ ，测得单摆的摆长 $l=(80.12\pm0.03)cm$ ，单摆的周期 $T=(1.7935\pm0.0002)s$ ，用不确定度评定的方法求重力加速度 $g$ 的结果表达式，并写出计算过程。

题目解答

答案

解：（1）求 $g$ ：

由 $g=\frac{4\pi^2l}{T^2}$ 得

$g=\frac{4\times3.1416^2\times0.8012}{1.7935^2}m/s^2=9.8609m/s^2$

（2）求 $\sigma_g$ ：

$l$ 和 $T$ 的不确定度

$\sigma_l=0.0003m$ ， $\sigma_T=0.0002s$

根据不确定度传播公式：

$\sigma_y=\sqrt{\sum_{ }^{ }\left(\frac{\partial y}{\partial x_i}\right)^2\sigma_i^2}$

所以

$\sigma_g=\sqrt{\left(\frac{\partial g}{\partial l}\right)^2\sigma_l^2+\left(\frac{\partial g}{\partial T}\right)^2\sigma_T^2}$

$=\sqrt{\left(\frac{4\pi^2}{T^2}\right)^2\sigma_l^2+\left(\frac{8\pi^2l}{T^3}\right)^2\sigma_T^2}$

$=\sqrt{\left(\frac{4\times3.1416^2}{1.7935^2}\right)^2\times0.0003^2+\left(\frac{8\times3.1416^2\times0.8012}{1.7935^3}\right)^2\times0.0002^2}$

$=0.0430m/s^2$

重力加速度 $g$ 的结果表达式为

$g=\left(9.8609\pm0.0430\right)m/s^-2$

解析

步骤 1：计算重力加速度
根据公式$g=\dfrac {4{\pi }^{2}l}{{T}^{2}}$，代入摆长$l=80.12cm=0.8012m$和周期$T=1.7935s$，计算重力加速度$g$。
步骤 2：计算不确定度
根据不确定度传播公式${y}_{y}=\sqrt {\sum {(\dfrac {\partial y}{\partial {x}_{i}})}^{2}{{\sigma }_{i}}^{2}}$，计算重力加速度的不确定度${y}_{9}$。
步骤 3：计算重力加速度的不确定度
根据公式${y}_{9}=\sqrt {{(\dfrac {\partial g}{\partial t})}^{2}{{\sigma }_{i}}^{2}+{(\dfrac {\partial g}{\partial T})}^{2}{{\sigma }_{1}}^{2}}$，代入摆长的不确定度${T}_{1}=0.0003m$和周期的不确定度$T=0.0002s$，计算重力加速度的不确定度${y}_{9}$。
步骤 4：写出重力加速度的结果表达式
根据计算结果，写出重力加速度的结果表达式。