题目
一作简谐运动的物体,振动方程为=Acos (omega t+dfrac (pi )(4)),振动周期T,则该物体在t=0时刻的动能与=Acos (omega t+dfrac (pi )(4))时刻的动能之比为[ ]A 2:1 B 1:4 C 4:1 D 1:2
一作简谐运动的物体,振动方程为
,振动周期T,则该物体在t=0时刻的动能与
时刻的动能之比为[ ]
A 2:1
B 1:4
C 4:1
D 1:2
题目解答
答案
根据振动方程，得：
t = 0时刻的位置为：
时刻的位置为：
根据
得：
t = 0时刻的动能为：
时刻的动能为：
故该物体在t = 0时刻的动能与时刻的动能之比为：
，故D正确.
解析
步骤 1：确定t=0时刻的位置
根据振动方程$x=A\cos (\omega t+\dfrac {\pi }{4})$，当t=0时，位置为$x_1=A\cos (\dfrac {\pi }{4})=\dfrac {\sqrt {2}}{2}A$。
步骤 2：确定$t=\dfrac {T}{8}$时刻的位置
当$t=\dfrac {T}{8}$时，位置为$x_2=A\cos (\dfrac {\pi }{4}+\dfrac {\pi }{4})=A\cos (\dfrac {\pi }{2})=0$。
步骤 3：计算动能比
根据简谐运动的动能公式${E}_{k}=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}=\dfrac {1}{2}k{A}^{2}-\dfrac {1}{2}k{x}^{2}$，可以计算出t=0时刻的动能${E}_{k1}=\dfrac {1}{2}k{A}^{2}-\dfrac {1}{2}k{(\dfrac {\sqrt {2}}{2}A)}^{2}=\dfrac {1}{2}k{A}^{2}-\dfrac {1}{4}k{A}^{2}=\dfrac {1}{4}k{A}^{2}$，以及$t=\dfrac {T}{8}$时刻的动能${E}_{k2}=\dfrac {1}{2}k{A}^{2}$。因此，动能之比为${E}_{k1}:{E}_{k2}=1:2$。
根据振动方程$x=A\cos (\omega t+\dfrac {\pi }{4})$，当t=0时，位置为$x_1=A\cos (\dfrac {\pi }{4})=\dfrac {\sqrt {2}}{2}A$。
步骤 2：确定$t=\dfrac {T}{8}$时刻的位置
当$t=\dfrac {T}{8}$时，位置为$x_2=A\cos (\dfrac {\pi }{4}+\dfrac {\pi }{4})=A\cos (\dfrac {\pi }{2})=0$。
步骤 3：计算动能比
根据简谐运动的动能公式${E}_{k}=\dfrac {1}{2}m{v}^{2}=\dfrac {1}{2}k{A}^{2}-\dfrac {1}{2}k{x}^{2}$，可以计算出t=0时刻的动能${E}_{k1}=\dfrac {1}{2}k{A}^{2}-\dfrac {1}{2}k{(\dfrac {\sqrt {2}}{2}A)}^{2}=\dfrac {1}{2}k{A}^{2}-\dfrac {1}{4}k{A}^{2}=\dfrac {1}{4}k{A}^{2}$，以及$t=\dfrac {T}{8}$时刻的动能${E}_{k2}=\dfrac {1}{2}k{A}^{2}$。因此，动能之比为${E}_{k1}:{E}_{k2}=1:2$。