题目
设随机变量X的分布函数为 ,0leqslant xlt 1 x-dfrac {1)(2),1leqslant xlt 1.5 1,xgeqslant 5 .。
设随机变量X的分布函数为
，
试求
，以及
。
题目解答
答案
已知设随机变量X的分布函数为，
由分布函数和概率间的转换规则，可得：
，
故答案为：
，
。
解析
步骤 1：确定分布函数的分段
根据题目给出的分布函数$f(x)$，我们可以看到它被分成了四段，每一段对应不同的$x$值范围。这些范围分别是$x<0$，$0\leqslant x<1$，$1\leqslant x<1.5$，以及$x\geqslant 5$。
步骤 2：计算$P\{ 0.4\lt X\leqslant 1.3\}$
根据分布函数的性质，$P\{ 0.4\lt X\leqslant 1.3\} =F(1.3)-F(0.4)$。根据分布函数的定义，$F(1.3)=1.3-\dfrac {1}{2}$，$F(0.4)=\dfrac {0.4}{2}$。因此，$P\{ 0.4\lt X\leqslant 1.3\}=(1.3-\dfrac {1}{2})-\dfrac {0.4}{2}=0.6$。
步骤 3：计算$P\{ X\gt 0.5\}$
根据分布函数的性质，$P\{ X\gt 0.5\} =1-P\{ X\leqslant 0.5\} =1-F(0.5)$。根据分布函数的定义，$F(0.5)=\dfrac {0.5}{2}$。因此，$P\{ X\gt 0.5\}=1-\dfrac {0.5}{2}=0.75$。
根据题目给出的分布函数$f(x)$，我们可以看到它被分成了四段，每一段对应不同的$x$值范围。这些范围分别是$x<0$，$0\leqslant x<1$，$1\leqslant x<1.5$，以及$x\geqslant 5$。
步骤 2：计算$P\{ 0.4\lt X\leqslant 1.3\}$
根据分布函数的性质，$P\{ 0.4\lt X\leqslant 1.3\} =F(1.3)-F(0.4)$。根据分布函数的定义，$F(1.3)=1.3-\dfrac {1}{2}$，$F(0.4)=\dfrac {0.4}{2}$。因此，$P\{ 0.4\lt X\leqslant 1.3\}=(1.3-\dfrac {1}{2})-\dfrac {0.4}{2}=0.6$。
步骤 3：计算$P\{ X\gt 0.5\}$
根据分布函数的性质，$P\{ X\gt 0.5\} =1-P\{ X\leqslant 0.5\} =1-F(0.5)$。根据分布函数的定义，$F(0.5)=\dfrac {0.5}{2}$。因此，$P\{ X\gt 0.5\}=1-\dfrac {0.5}{2}=0.75$。