某5元齐次线性方程组经初等变换将系数矩阵化为 } 1 & -1 & 2 & 3 & -4 1 & 5 & -2 2 & 0 ，自由未知量可取为(1) x_4, x_5；(2) x_3, x_5；(3) x_1, x_5；(4) x_2, x_3，那么正确的有（ ）。A. 3个B. 2个C. 1个D. 4个

本题考查齐齐次次线性方程组自由未知量的选取的知识点。解题思路是先根据系数矩阵的行阶梯形确定矩阵的秩，进而得到自由未知量的个数，再依据自由未知量选取的规则来判断各个选项是否正确。

步骤一：确定系数矩阵的秩

已知系数矩阵经初等变换化为 $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 & -4 \\ 0 & 6 & -4 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$（这里补充完整矩阵形式，原矩阵第二行少了元素，根据初等变换规则补充），该矩阵非零行的行数为 3，所以矩阵的秩 $r = 3$。

因为方程组是 5 元齐次线性方程组，即未知数个数 $n = 5$，根据自由未知量个数的计算公式：自由未知量个数 $n$ 减去矩阵的秩 $r$，可得自由未知量的个数为 $n - r = 5 - 3 = 2$。

步骤二：明确自由未知量选取规则

自由未知量的选取规则是：不能选取主元所在列对应的未知量，主元是每行第一个非零元素所在列对应的未知量。在矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 &3 & -4 \\ 0 & 6 & -4 & -2 & \\ 0 & 0 & 2 & 0 0 \end{pmatrix}$ 中，主元分别在第 1、2、3 列，所以主元对应的未知量为 $x₁、x₂、x₃，那么自由未知量不能是 x₁、x₂、x₃。

步骤三：逐一分析各个选项

• 选项(1)：$x_4, x_5$，x₄和x₅都不是主元对应的未知量，所以可以作为自由未知量，该选项正确。
• 选项(2)：$x_3, x_5$，其中x₃是主元对应的未知量，不能作为自由未知量，所以该选项错误。
• 选项(3)：$x_1, x_5$，其中x₁是主元对应的未知量，不能作为自由未知量，所以该选项错误。
  选项(4)：$x_2, x_3$，x₂和x₃都是主元对应的未知量，不能作为自由未知量，所以该选项错误。

综上，只有选项(1)正确，正确的选项有 1 个。