题目
设线性方程组_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)=0-|||-x https:/img.zuoyebang.cc/zyb_11f7ffe17b3d923f074d5dc9a2782d43.jpg+2(x)_(2)+a(x)_(3)=0-|||-x1 +4(x)_(2)+(a)^2(x)_(3)=0与方程_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)=0-|||-x https:/img.zuoyebang.cc/zyb_77ef512f62a2b8fee52cb8e58adf12cf.jpg+2(x)_(2)+a(x)_(3)=0-|||-x1 +4(x)_(2)+(a)^2(x)_(3)=0有公共解，求a的值及所有公共解.
设线性方程组
与方程
有公共解，求a的值及所有公共解.
题目解答
答案
将方程组和方程合并，后可得线性方程组：
，
其系数矩阵：
，
显然，
当
，
时无公共解，
当a=1时，可求得公共解为：
，k为任意常数，
当a=2时，可求得公共解为：
.
解析
步骤 1：合并方程组
将给定的线性方程组和方程合并，得到新的线性方程组：
${x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=0$，
${x}_{1}+2{x}_{2}+a{x}_{3}=0$，
${x}_{1}+4{x}_{2}+{a}^{2}{x}_{3}=0$，
${x}_{1}+2{x}_{2}+{x}_{3}=a-1$。
步骤 2：构造增广矩阵
构造上述方程组的增广矩阵：
$A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & a & 0 \\ 1 & 4 & a^2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & a-1\end{pmatrix}$。
步骤 3：化简增广矩阵
对增广矩阵进行行变换，化简为阶梯形矩阵：
$A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & a^2-3a+2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a-1\end{pmatrix}$。
步骤 4：分析方程组的解
根据阶梯形矩阵，分析方程组的解的情况：
- 当$a\neq 1$且$a\neq 2$时，方程组无解。
- 当$a=1$时，方程组有无穷多解，解为$S=k(0,1,-1)$，其中$k$为任意常数。
- 当$a=2$时，方程组有无穷多解，解为$S=m(0,1,-1)$，其中$m$为任意常数。
将给定的线性方程组和方程合并，得到新的线性方程组：
${x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=0$，
${x}_{1}+2{x}_{2}+a{x}_{3}=0$，
${x}_{1}+4{x}_{2}+{a}^{2}{x}_{3}=0$，
${x}_{1}+2{x}_{2}+{x}_{3}=a-1$。
步骤 2：构造增广矩阵
构造上述方程组的增广矩阵：
$A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & a & 0 \\ 1 & 4 & a^2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & a-1\end{pmatrix}$。
步骤 3：化简增广矩阵
对增广矩阵进行行变换，化简为阶梯形矩阵：
$A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & a^2-3a+2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a-1\end{pmatrix}$。
步骤 4：分析方程组的解
根据阶梯形矩阵，分析方程组的解的情况：
- 当$a\neq 1$且$a\neq 2$时，方程组无解。
- 当$a=1$时，方程组有无穷多解，解为$S=k(0,1,-1)$，其中$k$为任意常数。
- 当$a=2$时，方程组有无穷多解，解为$S=m(0,1,-1)$，其中$m$为任意常数。