[例3]已知函数 =y(x) 在任意点 x处的增量 Delta y=dfrac (yDelta x)(1+{x)^2}+a; 且当 Delta xarrow 0 时,-|||-α是 Delta x 的高阶无穷小, (0)=pi , 则 y(1)等于 () .-|||-(A)2π (B) π (C) ^dfrac (pi {4)} (D)πe^π/4

考查要点：本题主要考查微分的定义、可分离变量微分方程的解法以及初始条件的应用。

解题核心思路：

1. 理解微分定义：题目中给出的增量$\Delta y$包含主部$\dfrac{y\Delta x}{1+x^2}$和高阶无穷小$\alpha$，根据微分定义可得微分$dy = \dfrac{y}{1+x^2}dx$。
2. 建立微分方程：将微分形式转化为微分方程$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{1+x^2}$。
3. 分离变量求解：通过分离变量法求解微分方程，积分后得到通解。
4. 应用初始条件：利用$y(0) = \pi$确定常数，得到特解，最终计算$y(1)$的值。

破题关键点：

• 识别微分主部：正确提取$\Delta y$中的线性主部，忽略高阶无穷小。
• 分离变量积分：正确分离变量并积分，注意积分常数的处理。
• 初始条件代入：通过初始条件确定解中的常数，确保特解的唯一性。

建立微分方程

根据题意，当$\Delta x \to 0$时，$\alpha$是$\Delta x$的高阶无穷小，因此微分$dy$为$\Delta y$的主部：
$dy = \dfrac{y}{1+x^2}dx$
转化为微分方程：
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{1+x^2}$

分离变量并积分

将方程改写为：
$\dfrac{dy}{y} = \dfrac{dx}{1+x^2}$
两边积分：
$\int \dfrac{1}{y} dy = \int \dfrac{1}{1+x^2} dx$
得到：
$\ln |y| = \arctan x + C_1$
整理为通解：
$y = C e^{\arctan x} \quad (C = \pm e^{C_1})$

应用初始条件

当$x=0$时，$y(0) = \pi$，代入通解：
$\pi = C e^{\arctan 0} = C e^{0} \implies C = \pi$
因此特解为：
$y = \pi e^{\arctan x}$

计算$y(1)$

将$x=1$代入特解：
$y(1) = \pi e^{\arctan 1} = \pi e^{\dfrac{\pi}{4}}$