题目
[例3]已知函数 =y(x) 在任意点 x处的增量 Delta y=dfrac (yDelta x)(1+{x)^2}+a; 且当 Delta xarrow 0 时,-|||-α是 Delta x 的高阶无穷小, (0)=pi , 则 y(1)等于 () .-|||-(A)2π (B) π (C) ^dfrac (pi {4)} (D)πe^π/4
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解增量表达式
给定函数 $y=y(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y=\dfrac {y\Delta x}{1+{x}^{2}}+a$，其中 $a$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小。这意味着当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，$a$ 的增长速度比 $\Delta x$ 更快，可以忽略不计。
步骤 2：利用微分定义
根据微分的定义，当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，$\Delta y$ 可以近似为 $dy$。因此，$\Delta y \approx dy$。将增量表达式中的 $a$ 忽略，得到 $dy = \dfrac{y}{1+x^2}dx$。
步骤 3：分离变量并积分
将变量分离，得到 $\dfrac{dy}{y} = \dfrac{dx}{1+x^2}$。对两边积分，得到 $\int \dfrac{dy}{y} = \int \dfrac{dx}{1+x^2}$。左边积分得到 $\ln|y| + C_1$，右边积分得到 $\arctan(x) + C_2$。因此，$\ln|y| = \arctan(x) + C$，其中 $C = C_2 - C_1$ 是常数。
步骤 4：求解常数
由 $y(0) = \pi$，代入 $\ln|y| = \arctan(x) + C$，得到 $\ln|\pi| = \arctan(0) + C$，即 $\ln(\pi) = 0 + C$，因此 $C = \ln(\pi)$。所以，$\ln|y| = \arctan(x) + \ln(\pi)$，即 $y = \pi e^{\arctan(x)}$。
步骤 5：求解 $y(1)$
将 $x = 1$ 代入 $y = \pi e^{\arctan(x)}$，得到 $y(1) = \pi e^{\arctan(1)} = \pi e^{\frac{\pi}{4}}$。
给定函数 $y=y(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\Delta y=\dfrac {y\Delta x}{1+{x}^{2}}+a$，其中 $a$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小。这意味着当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，$a$ 的增长速度比 $\Delta x$ 更快，可以忽略不计。
步骤 2：利用微分定义
根据微分的定义，当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时，$\Delta y$ 可以近似为 $dy$。因此，$\Delta y \approx dy$。将增量表达式中的 $a$ 忽略，得到 $dy = \dfrac{y}{1+x^2}dx$。
步骤 3：分离变量并积分
将变量分离，得到 $\dfrac{dy}{y} = \dfrac{dx}{1+x^2}$。对两边积分，得到 $\int \dfrac{dy}{y} = \int \dfrac{dx}{1+x^2}$。左边积分得到 $\ln|y| + C_1$，右边积分得到 $\arctan(x) + C_2$。因此，$\ln|y| = \arctan(x) + C$，其中 $C = C_2 - C_1$ 是常数。
步骤 4：求解常数
由 $y(0) = \pi$，代入 $\ln|y| = \arctan(x) + C$，得到 $\ln|\pi| = \arctan(0) + C$，即 $\ln(\pi) = 0 + C$，因此 $C = \ln(\pi)$。所以，$\ln|y| = \arctan(x) + \ln(\pi)$，即 $y = \pi e^{\arctan(x)}$。
步骤 5：求解 $y(1)$
将 $x = 1$ 代入 $y = \pi e^{\arctan(x)}$，得到 $y(1) = \pi e^{\arctan(1)} = \pi e^{\frac{\pi}{4}}$。