题目
微分方程(dy)/(dx) = -(xy)/(1+x^2)的通解。A. y = C sqrt(1+x^2)B. y = sqrt(1+x^2)C. y = (C)/(sqrt(1+x^2))D. y = (1)/(sqrt(1+x^2))
微分方程$\frac{dy}{dx} = -\frac{xy}{1+x^2}$的通解。
A. $y = C \sqrt{1+x^2}$
B. $y = \sqrt{1+x^2}$
C. $y = \frac{C}{\sqrt{1+x^2}}$
D. $y = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
题目解答
答案
C. $y = \frac{C}{\sqrt{1+x^2}}$
解析
步骤 1：分离变量
将微分方程$\frac{dy}{dx} = -\frac{xy}{1+x^2}$分离变量，得到： \[ \frac{dy}{y} = -\frac{x}{1+x^2} \, dx \]
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边积分，得到： \[ \int \frac{dy}{y} = -\int \frac{x}{1+x^2} \, dx \] 左边积分得到$\ln |y|$，右边积分使用代换$u = 1+x^2$，$du = 2x \, dx$，得到： \[ \ln |y| = -\frac{1}{2} \ln |1+x^2| + C \]
步骤 3：化简
将上式化简，得到： \[ |y| = \frac{C_1}{\sqrt{1+x^2}} \] 去掉绝对值，通解为： \[ y = \frac{C}{\sqrt{1+x^2}} \]
将微分方程$\frac{dy}{dx} = -\frac{xy}{1+x^2}$分离变量，得到： \[ \frac{dy}{y} = -\frac{x}{1+x^2} \, dx \]
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边积分，得到： \[ \int \frac{dy}{y} = -\int \frac{x}{1+x^2} \, dx \] 左边积分得到$\ln |y|$，右边积分使用代换$u = 1+x^2$，$du = 2x \, dx$，得到： \[ \ln |y| = -\frac{1}{2} \ln |1+x^2| + C \]
步骤 3：化简
将上式化简，得到： \[ |y| = \frac{C_1}{\sqrt{1+x^2}} \] 去掉绝对值，通解为： \[ y = \frac{C}{\sqrt{1+x^2}} \]