设函数f(x)在[0,π]上连续,在（0,π）内可导,求证：存在ξ∈（0,π）使得：f’（ξ）=-f（ξ）cotξ

步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数 \( g(x) = f(x) \sin x \)。这个函数在区间 [0, π] 上连续，在 (0, π) 内可导。

步骤 2：应用罗尔定理
根据罗尔定理，如果函数 \( g(x) \) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，并且 \( g(a) = g(b) \)，那么在 (a, b) 内至少存在一点 \( \xi \)，使得 \( g'(\xi) = 0 \)。

步骤 3：计算 \( g(x) \) 的导数
计算 \( g(x) \) 的导数：
\[ g'(x) = f'(x) \sin x + f(x) \cos x \]

步骤 4：应用罗尔定理
由于 \( g(0) = f(0) \sin 0 = 0 \) 和 \( g(\pi) = f(\pi) \sin \pi = 0 \)，根据罗尔定理，存在 \( \xi \in (0, \pi) \)，使得 \( g'(\xi) = 0 \)。

步骤 5：求解 \( f'(\xi) \)
将 \( g'(\xi) = 0 \) 代入导数表达式：
\[ f'(\xi) \sin \xi + f(\xi) \cos \xi = 0 \]
\[ f'(\xi) \sin \xi = -f(\xi) \cos \xi \]
\[ f'(\xi) = -f(\xi) \cot \xi \]