记Sn为等差数列(an)的前n项和，已知a2=11，S10=40．（1）求(an)的通项公式；（2）求数列(|an|)的前n项和Tn．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{|an|}的前n项和Tn．
题目解答
答案
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=11}\\{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=40}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=11}\\{{a}_{1}+\frac{9}{2}d=4}\end{array}\right.$，
得a1=13，d=-2，
则an=13-2（n-1）=-2n+15（n∈N•）．
（2）|an|=|-2n+15|=$\left\{\begin{array}{l}{-2n+15，}&{1≤n≤7}\\{2n-15，}&{n≥8}\end{array}\right.$，
即1≤n≤7时，|an|=an，
当n≥8时，|an|=-an，
当1≤n≤7时，数列{|an|}的前n项和Tn=a1+⋯+an=13n+$\frac{n（n-1）}{2}×（-2）$=-n2+14n,
当n≥8时，数列{|an|}的前n项和Tn=a1+⋯+a7-⋯-an=-Sn+2（a1+⋯+a7）=-[13n+$\frac{n（n-1）}{2}×（-2）$]+2×$\frac{13+1}{2}×7$=n2-14n+98．
解析
考查要点：本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用，以及绝对值数列求和的分段处理方法。
解题思路：
- 第一问：利用已知条件$a_2=11$和$S_{10}=40$，建立关于首项$a_1$和公差$d$的方程组，解出$a_1$和$d$，进而写出通项公式。
- 第二问：分析通项$a_n$的正负变化点，将数列$\{|a_n|\}$的求和分为两段处理（正项段和负项段），分别计算前n项和。
破题关键：
- 方程组建立：根据等差数列的基本公式，结合已知条件列出方程。
- 绝对值分段：通过通项$a_n=15-2n$的符号变化确定分段点（$n=7$和$n=8$），分段求和。
第（1）题
设等差数列首项为$a_1$，公差为$d$
根据$a_2=11$，得：
$a_1 + d = 11 \quad \text{(1)}$
根据$S_{10}=40$，前10项和公式：
$S_{10} = \frac{10}{2} \left[ 2a_1 + 9d \right] = 40$
化简得：
$2a_1 + 9d = 8 \quad \text{(2)}$
解方程组
联立方程(1)和(2)，解得：
$a_1 = 13, \quad d = -2$
通项公式
代入等差数列通项公式：
$a_n = a_1 + (n-1)d = 13 - 2(n-1) = -2n + 15$
第（2）题
分析通项符号
通项$a_n = -2n + 15$，当$n \leq 7$时，$a_n \geq 0$；当$n \geq 8$时，$a_n < 0$。因此：
$|a_n| =
\begin{cases}-2n + 15, & 1 \leq n \leq 7 \\2n - 15, & n \geq 8\end{cases}$
求前n项和$T_n$
情况1：当$1 \leq n \leq 7$时，$|a_n| = a_n$，直接求和：
$T_n = S_n = \frac{n}{2} \left[ 2a_1 + (n-1)d \right] = -n^2 + 14n$
情况2：当$n \geq 8$时，前7项和为$S_7 = 49$，第8到第n项和为$- (S_n - S_7)$，因此：
$T_n = S_7 + \left[ - (S_n - S_7) \right] = 2S_7 - S_n = n^2 - 14n + 98$