题目
(1) lim _(xarrow 0)dfrac ({({int )_(0)^x(e)^(t^2)dt)}^2}({int )_(0)^xt(e)^2(t^2)dt} :
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用洛必达法则
由于分子和分母在$x\rightarrow 0$时都趋向于0，我们可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$是$\dfrac {0}{0}$或$\dfrac {\infty }{\infty }$的形式，那么$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，只要后者存在或为无穷大。
步骤 2：计算分子和分母的导数
分子的导数是$2\int _{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt\cdot {e}^{{x}^{2}}$，因为分子是积分的平方，所以需要使用链式法则。
分母的导数是$x{e}^{2{x}^{2}}$，因为分母是积分，所以需要使用积分的导数。
步骤 3：简化表达式
将分子和分母的导数代入洛必达法则，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\int _{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt\cdot {e}^{{x}^{2}}}{x{e}^{2{x}^{2}}}$。由于$x\rightarrow 0$时，${e}^{{x}^{2}}$和${e}^{2{x}^{2}}$都趋向于1，所以可以简化为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\int _{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt}{x}$。
步骤 4：再次应用洛必达法则
由于分子和分母在$x\rightarrow 0$时都趋向于0，我们可以再次应用洛必达法则。分子的导数是$2{e}^{{x}^{2}}$，分母的导数是1。
步骤 5：计算最终结果
将分子和分母的导数代入洛必达法则，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2{e}^{{x}^{2}}}{1}=2$。
由于分子和分母在$x\rightarrow 0$时都趋向于0，我们可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$是$\dfrac {0}{0}$或$\dfrac {\infty }{\infty }$的形式，那么$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，只要后者存在或为无穷大。
步骤 2：计算分子和分母的导数
分子的导数是$2\int _{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt\cdot {e}^{{x}^{2}}$，因为分子是积分的平方，所以需要使用链式法则。
分母的导数是$x{e}^{2{x}^{2}}$，因为分母是积分，所以需要使用积分的导数。
步骤 3：简化表达式
将分子和分母的导数代入洛必达法则，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\int _{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt\cdot {e}^{{x}^{2}}}{x{e}^{2{x}^{2}}}$。由于$x\rightarrow 0$时，${e}^{{x}^{2}}$和${e}^{2{x}^{2}}$都趋向于1，所以可以简化为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2\int _{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt}{x}$。
步骤 4：再次应用洛必达法则
由于分子和分母在$x\rightarrow 0$时都趋向于0，我们可以再次应用洛必达法则。分子的导数是$2{e}^{{x}^{2}}$，分母的导数是1。
步骤 5：计算最终结果
将分子和分母的导数代入洛必达法则，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2{e}^{{x}^{2}}}{1}=2$。