设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)= ) 4xy,0leqslant xleqslant 1,0leqslant yleqslant 1 0, .

（1）判断独立性
本题考查二维随机变量独立性的判定。核心思路是验证联合密度函数是否等于边缘密度函数的乘积。
关键步骤：

1. 分别求出X和Y的边缘密度函数$f_X(x)$和$f_Y(y)$；
2. 检查是否满足$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$。

（2）计算概率
本题考查二重积分在概率中的应用。需明确积分区域：$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$且$x \leq y \leq 1 - x$。
关键点：

1. 正确确定积分上下限；
2. 分步计算二重积分，先对$y$积分，再对$x$积分。

第（1）题

求X的边缘密度$f_X(x)$

$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy = \int_{0}^{1} 4xy \, dy = 4x \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = 2x \quad (0 \leq x \leq 1)$

求Y的边缘密度$f_Y(y)$

$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx = \int_{0}^{1} 4xy \, dx = 4y \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = 2y \quad (0 \leq y \leq 1)$

验证独立性

$f_X(x) \cdot f_Y(y) = 2x \cdot 2y = 4xy = f(x,y)$
因此，X与Y相互独立。

第（2）题

确定积分区域

当$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$时，$y$的范围为$x \leq y \leq 1 - x$。

计算概率

$\begin{aligned}P &= \int_{0}^{\frac{1}{2}} \int_{x}^{1 - x} 4xy \, dy \, dx \\&= \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left[ 4x \cdot \frac{y^2}{2} \right]_{x}^{1 - x} \, dx \\&= \int_{0}^{\frac{1}{2}} 2x \left[ (1 - x)^2 - x^2 \right] \, dx \\&= \int_{0}^{\frac{1}{2}} 2x \left( 1 - 2x \right) \, dx \\&= \int_{0}^{\frac{1}{2}} (2x - 4x^2) \, dx \\&= \left[ x^2 - \frac{4}{3}x^3 \right]_{0}^{\frac{1}{2}} \\&= \left( \frac{1}{4} - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} \right) - 0 \\&= \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\end{aligned}$