题目
设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1,证明：存在不同的xi_(1),xi_(2)in(0,1),使得(1)/(f^prime)(xi_(1))+(1)/(f^prime)(xi_(2))=2
设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1,
证明：存在不同的$\xi_{1},\xi_{2}\in(0,1)$,使得$\frac{1}{f^{\prime}(\xi_{1})}+\frac{1}{f^{\prime}(\xi_{2})}=2$
题目解答
答案
由连续函数的介值定理，存在 $\delta \in (0,1)$ 使得 $f(\delta) = \frac{1}{2}$。
在区间 $[0,\delta]$ 和 $[\delta,1]$ 上分别应用拉格朗日中值定理：
- 存在 $\xi_1 \in (0,\delta)$，满足 $f'(\xi_1) = \frac{f(\delta) - f(0)}{\delta} = \frac{1}{2\delta}$；
- 存在 $\xi_2 \in (\delta,1)$，满足 $f'(\xi_2) = \frac{f(1) - f(\delta)}{1 - \delta} = \frac{1}{2(1 - \delta)}$。
计算得：
\[ \frac{1}{f'(\xi_1)} + \frac{1}{f'(\xi_2)} = 2\delta + 2(1 - \delta) = 2. \]
由于 $\xi_1 \neq \xi_2$，结论成立。
\[
\boxed{\text{存在不同的 } \xi_1, \xi_2 \in (0,1) \text{，使得 } \frac{1}{f'(\xi_1)} + \frac{1}{f'(\xi_2)} = 2.}
\]
解析
本题本题主要考查连续函数的介介值定理和拉格朗日中值定理的应用。解题的关键关键思路是先利用连续函数的介值定理找到一个特殊点，再然后在不同区间上应用拉格朗日中值定理，最后通过计算得出所需表达式的值来证明结论。
- 利用特殊特殊点：
- 因为函数$f(x)$在$[0,1$上连续，且$f(0)=0$，$f(1)=1$，$0<\frac{1}{2}<1$。
- 根据连续函数的介值定理：若函数$y = f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，$m$是介于$f(a)$与$f(b)$之间的任意一个数，则至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=m$。
- 所以存在$\delta\in(0,1)$，使得$f(\delta)=\frac{1}{2}$。
- 应用拉格朗日中值定理：
- 拉格朗日中值定理：若函数$y = f(x)$满足在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b - a}$。
- 在区间$[0,\delta]$上，函数$f(x)$满足拉格朗日中值定理的条件，所以存在$\xi_1\in(0,\delta)$，使得$f'(\xi_1)=\frac{f(\delta)-f(0)}{\delta - 0}$。
已知$f(0)=0$，$f(\delta)=\frac{1}{2}$，代入上式可得$f'(\xi_1)=\frac{\frac{1}{2}-0}{\delta}=\frac{1}{2\delta}$。 - 在区间$[\delta,1]$上，函数$f(x)$同样满足拉格朗日中值定理的条件，所以存在$\xi_2\in(\delta,1)$，使得$f'(\xi_2)=\frac{f(1)-f(\delta)}{1 - \delta}$。
已知$f(1)=1$，$f(\delta)=\frac{1}{2}$，代入上式可得$f'(\xi_2)=\frac{1-\frac{1}{1 - \delta}=\frac{\frac{1}{2}}{1 - \delta}=\frac{1}{2(1 - \delta)}$。
- 计算所需表达式的值：
- 对$\frac{1}{f'(\xi_1)}+\frac{1}{f'(\xi_2)}$进行计算。
由$f'(\xi_1)=\frac{1}{2\delta}$，可得$\frac{1}{f'(\xi_1)} = 2\delta$；由$f'(\xi_2)=\frac{1}{2(1 - \delta)}$，可得$\frac{1}{f'(\xi_2)} = 2(1 - \delta)$。 - 所以$\frac{1}{f'(\xi_1)}+\frac{1}{f'(\xi_2)}=2\delta + 2(1 - \delta)$。
去括号得$2\frac{1}{f'(\xi_1)}+\frac{1}{f'(\xi_2)}=2\delta + 2 - 2\delta$，合并同类项得$\frac{1}{f'(\xi_1)}+\frac{1}{f'(\xi_2)} = 2$。 - 又因为$\xi_1\in(0,\delta)$，$\xi_2\in(\delta,1)$，所以$\xi_1\neq\xi_2$。
- 对$\frac{1}{f'(\xi_1)}+\frac{1}{f'(\xi_2)}$进行计算。