题目
12、顷到已知函数f(x)的一个原函数为e x,则-|||-(int )_(-infty )^0(x+1)f'(x)dx= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定原函数
已知函数f(x)的一个原函数为e^x，即f(x) = e^x。
步骤 2：求导
根据原函数的定义，f'(x) = d(e^x)/dx = e^x。
步骤 3：代入积分
将f'(x) = e^x代入积分${\int }_{-\infty }^{0}(x+1)f'(x)dx$，得到${\int }_{-\infty }^{0}(x+1)e^x dx$。
步骤 4：分部积分
使用分部积分法，设u = x + 1，dv = e^x dx，则du = dx，v = e^x。根据分部积分公式${\int }u dv = uv - {\int }v du$，得到${\int }_{-\infty }^{0}(x+1)e^x dx = (x+1)e^x|_{-\infty}^{0} - {\int }_{-\infty }^{0}e^x dx$。
步骤 5：计算积分
计算得到${\int }_{-\infty }^{0}(x+1)e^x dx = (0+1)e^0 - (0+1)e^{-\infty} - (e^x|_{-\infty}^{0}) = 1 - 0 - (1 - 0) = 0$。
已知函数f(x)的一个原函数为e^x，即f(x) = e^x。
步骤 2：求导
根据原函数的定义，f'(x) = d(e^x)/dx = e^x。
步骤 3：代入积分
将f'(x) = e^x代入积分${\int }_{-\infty }^{0}(x+1)f'(x)dx$，得到${\int }_{-\infty }^{0}(x+1)e^x dx$。
步骤 4：分部积分
使用分部积分法，设u = x + 1，dv = e^x dx，则du = dx，v = e^x。根据分部积分公式${\int }u dv = uv - {\int }v du$，得到${\int }_{-\infty }^{0}(x+1)e^x dx = (x+1)e^x|_{-\infty}^{0} - {\int }_{-\infty }^{0}e^x dx$。
步骤 5：计算积分
计算得到${\int }_{-\infty }^{0}(x+1)e^x dx = (0+1)e^0 - (0+1)e^{-\infty} - (e^x|_{-\infty}^{0}) = 1 - 0 - (1 - 0) = 0$。