题目
质量的小球与轻弹簧组成的振动系统,按的规律作自由振动,式中以秒作单位,米作单位,求:(1)振动的振幅,初相,圆频率和周期;(2)振动的速度,加速度的表达式;(3)振动的总能量; (4)平均动能和平均势能
质量
的小球与轻弹簧组成的振动系统,按
的规律作自由振动,式中
以秒作单位,
米作单位,求:
(1)振动的振幅,初相,圆频率和周期;
(2)振动的速度,加速度的表达式;
(3)振动的总能量;
(4)平均动能和平均势能
题目解答
答案
（1）由简谐振动方程可知：
（2）速度表达式为：
加速度表达式为：
（3）振动的总能量为：
（4）平均动能：
平均势能：
解析
步骤 1：确定振动的振幅、初相、圆频率和周期
根据给定的振动方程 $x=0.05\cos (8\pi t+\dfrac {\pi }{3})$，我们可以直接读出振幅、初相、圆频率和周期。
- 振幅 $A=0.05m$
- 初相 $\theta=\dfrac {\pi }{3}$
- 圆频率 $\omega=8\pi rad\cdot {s}^{-1}$
- 周期 $T=\dfrac {2\pi}{\omega}=\dfrac {2\pi}{8\pi}=0.25s$
步骤 2：求振动的速度和加速度表达式
- 速度表达式为 $v=\dfrac {dx}{dt}=-0.05\cdot 8\pi \sin (8\pi t+\dfrac {\pi }{3})=-0.4\pi \sin (8\pi t+\dfrac {\pi }{3})$
- 加速度表达式为 $a=\dfrac {{d}^{2}x}{d{t}^{2}}=-0.05\cdot (8\pi)^2\cos (8\pi t+\dfrac {\pi }{3})=-3.2{\pi }^{2}\cos (8\pi t+\dfrac {\pi }{3})$
步骤 3：求振动的总能量
振动的总能量 $E$ 可以通过公式 $E=\dfrac {1}{2}k{A}^{2}=\dfrac {1}{2}m{w}^{2}{A}^{2}$ 计算，其中 $m=0.01kg$，$A=0.05m$，$\omega=8\pi rad\cdot {s}^{-1}$。
- $E=\dfrac {1}{2}\cdot 0.01\cdot (8\pi)^2\cdot (0.05)^2=7.9\times {10}^{-7}J$
步骤 4：求平均动能和平均势能
- 平均动能 ${E}_{k}=\dfrac {E}{2}=3.95\times {10}^{-7}J$
- 平均势能 ${E}_{p}=\dfrac {E}{2}=3.95\times {10}^{-7}J$
根据给定的振动方程 $x=0.05\cos (8\pi t+\dfrac {\pi }{3})$，我们可以直接读出振幅、初相、圆频率和周期。
- 振幅 $A=0.05m$
- 初相 $\theta=\dfrac {\pi }{3}$
- 圆频率 $\omega=8\pi rad\cdot {s}^{-1}$
- 周期 $T=\dfrac {2\pi}{\omega}=\dfrac {2\pi}{8\pi}=0.25s$
步骤 2：求振动的速度和加速度表达式
- 速度表达式为 $v=\dfrac {dx}{dt}=-0.05\cdot 8\pi \sin (8\pi t+\dfrac {\pi }{3})=-0.4\pi \sin (8\pi t+\dfrac {\pi }{3})$
- 加速度表达式为 $a=\dfrac {{d}^{2}x}{d{t}^{2}}=-0.05\cdot (8\pi)^2\cos (8\pi t+\dfrac {\pi }{3})=-3.2{\pi }^{2}\cos (8\pi t+\dfrac {\pi }{3})$
步骤 3：求振动的总能量
振动的总能量 $E$ 可以通过公式 $E=\dfrac {1}{2}k{A}^{2}=\dfrac {1}{2}m{w}^{2}{A}^{2}$ 计算，其中 $m=0.01kg$，$A=0.05m$，$\omega=8\pi rad\cdot {s}^{-1}$。
- $E=\dfrac {1}{2}\cdot 0.01\cdot (8\pi)^2\cdot (0.05)^2=7.9\times {10}^{-7}J$
步骤 4：求平均动能和平均势能
- 平均动能 ${E}_{k}=\dfrac {E}{2}=3.95\times {10}^{-7}J$
- 平均势能 ${E}_{p}=\dfrac {E}{2}=3.95\times {10}^{-7}J$