题目
设 F(x) 是 f(x) 在 (-infty, +infty) 上的一个原函数，且 F(x) 为奇函数，则 f(x) 是 ()A. 非奇非偶函数B. 不能确定C. 奇函数D. 偶函数
设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上的一个原函数，且 $F(x)$ 为奇函数，则 $f(x)$ 是 ()
A. 非奇非偶函数
B. 不能确定
C. 奇函数
D. 偶函数
题目解答
答案
D. 偶函数
解析
步骤 1：定义奇函数
奇函数的定义是：对于函数 $F(x)$，如果对于所有 $x$，都有 $F(-x) = -F(x)$，则 $F(x)$ 是奇函数。
步骤 2：利用奇函数的性质
已知 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，且 $F(x)$ 是奇函数，即 $F(-x) = -F(x)$。
步骤 3：对奇函数求导
对 $F(-x) = -F(x)$ 两边求导，得到 $F'(-x) \cdot (-1) = -F'(x)$，即 $F'(-x) = F'(x)$。
步骤 4：确定 $f(x)$ 的性质
由于 $F'(x) = f(x)$，所以 $f(-x) = f(x)$，说明 $f(x)$ 是偶函数。
奇函数的定义是：对于函数 $F(x)$，如果对于所有 $x$，都有 $F(-x) = -F(x)$，则 $F(x)$ 是奇函数。
步骤 2：利用奇函数的性质
已知 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，且 $F(x)$ 是奇函数，即 $F(-x) = -F(x)$。
步骤 3：对奇函数求导
对 $F(-x) = -F(x)$ 两边求导，得到 $F'(-x) \cdot (-1) = -F'(x)$，即 $F'(-x) = F'(x)$。
步骤 4：确定 $f(x)$ 的性质
由于 $F'(x) = f(x)$，所以 $f(-x) = f(x)$，说明 $f(x)$ 是偶函数。