设A是n阶方阵，满足A^2=E，则________.A. A的行列式为1B. A-E,A+E不同时可逆C. A的伴随矩阵A^*=A^-1D. A的特征值全是1

考查要点：本题主要考查矩阵的性质，特别是满足$A^2=E$的方阵$A$的相关性质，涉及行列式、可逆性、伴随矩阵及特征值等知识点。

解题核心思路：

1. 利用$A^2=E$推导$A$的逆矩阵：由$A^2=E$可得$A^{-1}=A$。
2. 分析选项的关键矛盾：
   • 选项B：通过计算$(A-E)(A+E)$的乘积，发现其结果为零矩阵，从而推导出$A-E$和$A+E$不可能同时可逆。
   • 选项C：结合伴随矩阵公式$A^*=|A|A^{-1}$，分析$|A|$的可能取值对结论的影响。
   • 选项A和D：通过行列式性质及特征值方程排除。

破题关键点：

• 矩阵乘积的性质：若两矩阵乘积为零矩阵，则至少有一个不可逆。
• 行列式的平方性质：$|A|^2=1$，故$|A|=1$或$-1$，而非固定为1。

选项分析

选项A：$A$的行列式为1

由$A^2=E$，得$|A|^2=|E|=1$，故$|A|=1$或$-1$。因此，行列式不一定是1，选项A错误。

选项B：$A-E$和$A+E$不同时可逆

计算$(A-E)(A+E)$：
$(A-E)(A+E) = A^2 - E = E - E = 0$
若$A-E$和$A+E$同时可逆，则它们的乘积也应可逆，但零矩阵不可逆，矛盾。因此，选项B正确。

选项C：$A^*=A^{-1}$

伴随矩阵公式为$A^*=|A|A^{-1}$。由$A^{-1}=A$，得$A^*=|A|A$。

• 若$|A|=1$，则$A^*=A=A^{-1}$，成立。
• 若$|A|=-1$，则$A^*=-A \neq A^{-1}$（除非$A=0$，但$A^2=E$矛盾）。
  因此，选项C不一定成立，错误。

选项D：$A$的特征值全是1

由$A^2=E$，特征值$\lambda$满足$\lambda^2=1$，即$\lambda=1$或$-1$。因此，特征值不全是1，选项D错误。