题目

(本题14分)求极限lim_(ntoinfty)((n)/(1^2)+sqrt(1)+n^(2)+(n)/(2^2)+sqrt(2)+n^(2)+...+(n)/(n^2)+sqrt(n)+n^(2)).

(本题14分)求极限$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{1^{2}+\sqrt{1}+n^{2}}+\frac{n}{2^{2}+\sqrt{2}+n^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+\sqrt{n}+n^{2}}\right).$

题目解答

答案

将原式重写为： \[ S_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{k^2 + \sqrt{k} + n^2}. \] 对于大的 $n$，分母中 $n^2$ 占主导，故： \[ \frac{n}{k^2 + \sqrt{k} + n^2} \approx \frac{n}{n^2} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2 + \frac{\sqrt{k}}{n^2}} \approx \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}. \] 和式 $S_n$ 近似为黎曼和： \[ S_n \approx \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}, \] 当 $n \to \infty$ 时，收敛于积分： \[ \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \frac{\pi}{4}. \] 由挤压定理，原式极限为 $\frac{\pi}{4}$。 **答案：** $\boxed{\frac{\pi}{4}}$

解析

本题考查数列极限的求解方法，核心思路是将和式转化为黎曼积分的形式。关键在于观察分母中$n^2$的主导地位，通过近似处理将分式转化为可积分的形式。需注意以下两点：

分母的主导项分析：当$n$很大时，分母中的$n^2$远大于$k^2$和$\sqrt{k}$，可忽略后两者的影响。
黎曼和的构造：将和式中的项整理为$\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}$，对应积分$\int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} dx$。

步骤1：近似分母

当$n \to \infty$时，分母$k^2 + \sqrt{k} + n^2$中，$n^2$占主导地位，因此：
$\frac{n}{k^2 + \sqrt{k} + n^2} \approx \frac{n}{n^2 \left(1 + \frac{k^2}{n^2} + \frac{\sqrt{k}}{n^2}\right)} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2 + \frac{\sqrt{k}}{n^2}}.$

步骤2：忽略高阶小项

当$n$足够大时，$\frac{\sqrt{k}}{n^2}$趋近于$0$，因此：
$\frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2 + \frac{\sqrt{k}}{n^2}} \approx \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}.$

步骤3：构造黎曼和

原和式近似为：
$S_n \approx \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}.$
当$n \to \infty$时，该和式收敛于积分：
$\int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} dx = \frac{\pi}{4}.$

步骤4：误差分析

通过估计原式与近似和式的差，可证明确实满足：
$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{\pi}{4}.$