3.求函数y=(x)/(tanx)的间断点，并判别间断点的类型.
题目解答
答案
函数 $ y = \frac{x}{\tan x} $ 的定义域为 $ x \neq k\pi $ 且 $ x \neq k\pi + \frac{\pi}{2} $（$ k $ 为整数）。
间断点为：
- $ x = k\pi + \frac{\pi}{2} $（$ k $ 为整数），此时 $\tan x$ 无定义，但 $\lim_{x \to k\pi + \frac{\pi}{2}} \frac{x}{\tan x} = 0$，故为可去间断点。
- $ x = k\pi $（$ k $ 为非零整数），此时 $\tan x = 0$，且 $\lim_{x \to k\pi} \frac{x}{\tan x} = \infty$，故为无穷间断点。
- $ x = 0 $，此时 $\tan x = 0$，且 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1$，故为可去间断点。
答案：
$x = 0$ 及 $x = k\pi + \frac{\pi}{2}$（$k$ 为整数）为可去间断点，$x = k\pi$（$k$ 为非零整数）为无穷间断点。
$\boxed{\begin{array}{ll}\text{可去间断点：} & x = 0, x = k\pi + \frac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) \\\text{无穷间断点：} & x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\})\end{array}}$
解析
本题考查函数间断点的求法以及间断点类型的判别。解题思路是先找出函数无定义的点，这些点即为间断点，然后分别计算函数在这些间断点处的极限，根据极限的情况来判断间断点的类型。
步骤一：确定函数的定义域和间断点
函数$y = \frac{x}{\tan x}$，因为$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$，分母不能为$0$，所以$\cos x\neq 0$且$\tan x\neq 0$。
由$\cos x = 0$，可得$x = k\pi + \frac{\pi}{2}$，$k\in\mathbb{Z}$；由$\tan x = 0$，即$\sin x = 0$，可得$x = k\pi$，$k\in\mathbb{Z}$。
因此，函数$y = \frac{x}{\tan x}$的定义域为$x\neq k\pi$且$x\neq k\pi + \frac{\pi}{2}$，$k\in\mathbb{Z}$，间断点为$x = k\pi$和$x = k\pi + \frac{\pi}{2}$，$k\in\mathbb{Z}$。
步骤二：判断间断点$x = k\pi + \frac{\pi}{2}$（$k\in\mathbb{Z}$）的类型
计算$\lim\limits_{x \to k\pi + \frac{\pi}{2}} \frac{x}{\tan x}$，当$x\to k\pi + \frac{\pi}{2}$时，$\tan x\to\infty$，而分子$x$为有限值，根据极限运算法则，$\lim\limits_{x \to k\pi + \frac{\pi}{2}} \frac{x}{\tan x} = 0$。
因为函数在该点极限存在，但函数在该点无定义，所以$x = k\pi + \frac{\pi}{2}$（$k\in\mathbb{Z}$）为可去间断点。
步骤三：判断间断点$x = k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$）的类型
- 当$k = 0$时，计算$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{\tan x}$，根据等价无穷小$\tan x\sim x$（$x\to 0$），则$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{\tan x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{x}=1$。
因为函数在该点极限存在，但函数在该点无定义，所以$x = 0$为可去间断点。 - 当$k\neq 0$时，计算$\lim\limits_{x \to k\pi} \frac{x}{\tan x}$，当$x\to k\pi$（$k\neq 0$）时，$\tan x\to 0$，而分子$x\to k\pi\neq 0$，根据极限运算法则，$\lim\limits_{x \to k\pi} \frac{x}{\tan x} = \infty$。
因为函数在该点极限为无穷大，所以$x = k\pi$（$k\neq 0$）为无穷间断点。