f(x,y)= ^2+{y)^2)}^2},(x)^2+(y)^2neq 0 0,(x)^2+(y)^2=0 . (pgt 0),

考查要点：本题主要考查二元函数在某点的连续性判断，需要掌握二重极限的存在性及其与函数值的关系。

解题核心思路：判断函数在原点处连续，需验证当$(x,y)\to(0,0)$时，$\lim f(x,y)=f(0,0)=0$。若极限不存在或不等于0，则不连续。

破题关键点：

1. 路径法：沿不同路径趋近于原点，观察极限是否一致。
2. 极坐标法：将函数转换为极坐标形式，分析极限随$r\to0$的变化趋势。

方法一：极坐标法

设$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，则当$(x,y)\to(0,0)$时，$r\to0$。代入函数得：
$f(x,y)=\frac{r\cos\theta}{(r^2)^2}=\frac{\cos\theta}{r^3}$
当$r\to0$时：

• 若$\cos\theta\neq0$（如沿$x$轴方向$\theta=0$），则$\frac{\cos\theta}{r^3}$趋向于$\pm\infty$；
• 若$\cos\theta=0$（如沿$y$轴方向$\theta=\frac{\pi}{2}$），则$f(x,y)=0$。

结论：极限值随路径不同而变化，故$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$不存在。

方法二：路径法

沿直线$y=kx$趋近于原点：
$f(x,kx)=\frac{x}{(x^2+k^2x^2)^2}=\frac{1}{x^3(1+k^2)^2}$
当$x\to0$时：

• 若$x\to0^+$，则$f(x,kx)\to+\infty$；
• 若$x\to0^-$，则$f(x,kx)\to-\infty$。

结论：极限不存在，故函数在$(0,0)$处不连续。