以下结论中不正确的是（） A. 若存在可逆矩阵C，使A=C^TC，则A是正定矩阵 B. 二次型f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2是正定二次型 C. n元实二次型正定的充分必要条件是f的正惯性指数为n D. n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全为正数
题目解答
答案
答案：B 解析： - 选项A：若存在可逆矩阵 $C$，使 $A = C^T C$，则对任意非零向量 $x$，有 $x^T A x = (C x)^T (C x) > 0$（因 $C x \neq 0$），故 $A$ 正定。正确。 - 选项B：二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2$ 对应矩阵为 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，特征值为 $1, 1, 0$，存在零特征值，非正定。错误。 - 选项C：$n$ 元二次型正定当且仅当正惯性指数为 $n$，即所有特征值为正。正确。 - 选项D：实对称矩阵正定的充要条件是所有特征值为正。正确。 答案：B
解析
本题主要考查正定矩阵和正定二次型的相关知识及判定条件。解题的关键在于对每个选项所涉及的正定矩阵和正定二次型的判定定理有清晰的理解，并能运用这些定理对各选项进行分析判断。
选项A
若存在可逆矩阵$C$，使$A = C^T C$，对于任意非零向量$x$，计算$x^T A x$：
$\begin{align*}x^T A x&=x^T (C^T C) x\\&=(C x)^T (C x)\end{align*}$
因为$C$是可逆矩阵，$x$是非零向量，所以$Cx\neq 0$。设$y = Cx=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T$，则$(C x)^T (C x)=y^T y=\sum_{i = 1}^{n}y_i^2>0$，满足正定矩阵的定义，故$A$是正定矩阵，该选项正确。
选项B
二次型$f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + x_2^2$，其对应的矩阵$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
对于实对称矩阵，其特征值可通过求解特征方程$\vert\lambda E - A\vert = 0$得到，即：
$\begin{vmatrix}\lambda - 1 & 0 & 0 \\0 & \lambda - 1 & 0 \\0 & 0 & \lambda\end{vmatrix}=(\lambda - 1)^2\lambda = 0$
解得特征值为$\lambda_1 = \lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = 0$。
根据正定矩阵的判定定理，实对称矩阵正定的充要条件是其特征值全为正数，而此矩阵存在零特征值，所以该二次型不是正定二次型，该选项错误。
选项C
根据惯性定理，$n$元实二次型$f$总可以通过可逆线性变换化为标准形$f = d_1y_1^2 + d_2y_2^2 + \cdots + d_ny_n^2$，其中正平方项的个数$p$称为正惯性指数。
$n$元二次型正定当且仅当正惯性指数$p = n$，也就是所有特征值为正，该选项正确。
选项D
实对称矩阵$A$正定的充分必要条件是$A$的特征值全为正数，这是正定矩阵的一个重要判定定理，该选项正确。