题目
求直线 2x-4y+z=0, 2x-4y+z=0在平面 2x-4y+z=0上的投影直线方程
求直线
,
在平面
上的投影直线方程
,
在平面
上的投影直线方程题目解答
答案
首先求过直线与平面垂直的平面,用平面束
过直线,的平面束为：
整理：
由于该平面与垂直,则法向量内积为0
即：
整理：
,则
,
代入(1)得：
整理得：
该平面过直线,,且与平面垂直,
因此投影为：,
解析
步骤 1：确定过直线的平面束方程
过直线2x-4y+z=0, 3x-y-2z-9=0的平面束方程为：
$2x-4y+z+k(3x-y-2z-9)=0$
整理得：$(2+3k)x-(4+k)y+(1-2k)z-9k=0$ (1)
步骤 2：确定平面束与给定平面垂直的条件
由于该平面束与平面4x-y+z=1垂直，其法向量内积为0，即：
$4(2+3k)+(-1)(-4-k)+(1-2k)=0$
整理得：$13+11k=0$，解得$k=-\dfrac{13}{11}$
步骤 3：代入k值求得垂直平面的方程
将$k=-\dfrac{13}{11}$代入(1)得：
$(-\dfrac{17}{11})x-\dfrac{31}{11}y+\dfrac{37}{11}z+\dfrac{117}{11}=0$
整理得：$17x+31y-37z-117=0$
步骤 4：确定投影直线方程
该平面过直线2x-4y+z=0, 3x-y-2z-9=0，且与平面4x-y+z=1垂直，因此投影直线方程为：
$17x+31y-37z-117=0$，4x-y+z=1
过直线2x-4y+z=0, 3x-y-2z-9=0的平面束方程为：
$2x-4y+z+k(3x-y-2z-9)=0$
整理得：$(2+3k)x-(4+k)y+(1-2k)z-9k=0$ (1)
步骤 2：确定平面束与给定平面垂直的条件
由于该平面束与平面4x-y+z=1垂直，其法向量内积为0，即：
$4(2+3k)+(-1)(-4-k)+(1-2k)=0$
整理得：$13+11k=0$，解得$k=-\dfrac{13}{11}$
步骤 3：代入k值求得垂直平面的方程
将$k=-\dfrac{13}{11}$代入(1)得：
$(-\dfrac{17}{11})x-\dfrac{31}{11}y+\dfrac{37}{11}z+\dfrac{117}{11}=0$
整理得：$17x+31y-37z-117=0$
步骤 4：确定投影直线方程
该平面过直线2x-4y+z=0, 3x-y-2z-9=0，且与平面4x-y+z=1垂直，因此投影直线方程为：
$17x+31y-37z-117=0$，4x-y+z=1