题目
求锥面 =sqrt ({x)^2+(y)^2} 被柱面 ^2=2x 所截曲面的面积.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲面的交线
锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和柱面 $z^2=2x$ 的交线可以通过将 $z^2$ 替换为 $x^2+y^2$ 来确定。因此，我们有 $x^2+y^2=2x$，即 $(x-1)^2+y^2=1$，这是一个圆心在 $(1,0)$，半径为 $1$ 的圆。
步骤 2：计算曲面的面积
曲面的面积可以通过计算曲面的积分来确定。对于锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$，其面积元 $dS$ 可以表示为 $\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy$。由于 $z=\sqrt{x^2+y^2}$，我们有 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$。因此，$dS=\sqrt{1+(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})^2+(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})^2}dxdy=\sqrt{2}dxdy$。
步骤 3：计算积分
曲面的面积可以通过计算积分 $\int\int_{D}\sqrt{2}dxdy$ 来确定，其中 $D$ 是圆 $(x-1)^2+y^2=1$ 的区域。由于 $D$ 是一个圆，我们可以使用极坐标来简化积分。令 $x=1+r\cos\theta$ 和 $y=r\sin\theta$，其中 $0\leq r\leq 1$ 和 $0\leq\theta\leq 2\pi$。因此，$dxdy=rdrd\theta$，积分变为 $\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\sqrt{2}rdrd\theta=\sqrt{2}\pi$。
锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和柱面 $z^2=2x$ 的交线可以通过将 $z^2$ 替换为 $x^2+y^2$ 来确定。因此，我们有 $x^2+y^2=2x$，即 $(x-1)^2+y^2=1$，这是一个圆心在 $(1,0)$，半径为 $1$ 的圆。
步骤 2：计算曲面的面积
曲面的面积可以通过计算曲面的积分来确定。对于锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$，其面积元 $dS$ 可以表示为 $\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy$。由于 $z=\sqrt{x^2+y^2}$，我们有 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$。因此，$dS=\sqrt{1+(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}})^2+(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})^2}dxdy=\sqrt{2}dxdy$。
步骤 3：计算积分
曲面的面积可以通过计算积分 $\int\int_{D}\sqrt{2}dxdy$ 来确定，其中 $D$ 是圆 $(x-1)^2+y^2=1$ 的区域。由于 $D$ 是一个圆，我们可以使用极坐标来简化积分。令 $x=1+r\cos\theta$ 和 $y=r\sin\theta$，其中 $0\leq r\leq 1$ 和 $0\leq\theta\leq 2\pi$。因此，$dxdy=rdrd\theta$，积分变为 $\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\sqrt{2}rdrd\theta=\sqrt{2}\pi$。