七、设随机变量X和Y相互独立,且 sim U(1,2) ,sim U(1,3) ,求方程 ^2+2Xt+Y=0 有两个不相等-|||-的实根的概率。

本题考查均匀分布的概率密度函数以及二维随机变量的概率计算。解题的关键思路是先根据方程有两个不相等实根得出$X$和$Y$满足的条件，再结合$X$和$Y$的分布求出联合概率密度函数，最后通过二重积分计算满足条件的概率。

1. 确定方程有两个不相等实根的条件：
   对于一元二次方程$at^{2}+bt + c = 0$（$a\neq0$），其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。当$\Delta>0$时，方程有两个不相等的实根。
   在方程$t^{2}+2Xt + Y = 0$中，$a = 1$，$b = 2X$，$c = Y$，则$\Delta=(2X)^{2}-4\times1\times Y=4X^{2}-4Y$。
   令$\Delta>0$，即$4X^{2}-4Y>0$，化简可得$X^{2}>Y$。
2. 求出$X$和$Y$的概率密度函数：
   已知$X\sim U(1,2)$，根据均匀分布的概率密度函数公式$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b - a},&a 已知$Y\sim U(1,3)$，同理可得$Y$的概率密度函数为$f_{Y}(y)=\begin{cases}\frac{1}{2},&1
3. 求出$X$和$Y$的联合概率密度函数：
   因为$X$和$Y$相互独立，根据相互独立的随机变量的联合概率密度函数等于各自概率密度函数的乘积，可得$f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)=\begin{cases}\frac{1}{2},&1
4. 计算$P(X^{2}>Y)$：
   $P(X^{2}>Y)=\iint_{x^{2}>y}f(x,y)dxdy$，积分区域由$1 先对$y$积分，积分下限为$1$，上限为$x^{2}$；再对$x$积分，积分下限为$1$，上限为$2$，则：
   $\begin{align*}P(X^{2}>Y)&=\int_{1}^{2}dx\int_{1}^{x^{2}}\frac{1}{2}dy\\&=\int_{1}^{2}\frac{1}{2}(x^{2}-1)dx\\&=\frac{1}{2}\int_{1}^{2}(x^{2}-1)dx\\&=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}x^{3}-x)\big|_{1}^{2}\\&=\frac{1}{2}[(\frac{1}{3}\times2^{3}-2)-(\frac{1}{3}\times1^{3}-1)]\\&=\frac{1}{2}[(\frac{8}{3}-2)-(\frac{1}{3}-1)]\\&=\frac{1}{2}(\frac{2}{3}+\frac{2}{3})\\&=\frac{2}{3}\end{align*}$