题目
点(1,3,-2)到平面(1,3,-2)的距离(1,3,-2)
点
到平面
的距离
题目解答
答案
平面的法向量为
平面上存在一点为
与点构成向量为
由向量投影，得到：
故距离
解析
步骤 1：确定平面的法向量
平面方程为x+4y+2z+9=0，其法向量为$\overrightarrow {a}=(1,4,2)$。
步骤 2：确定平面上的一点
平面方程x+4y+2z+9=0上存在一点为(1,-3,1)。
步骤 3：计算点(1,3,-2)与平面上点(1,-3,1)构成的向量
向量$\overrightarrow {x}=(1-1,3-(-3),-2-1)=(0,6,-3)$。
步骤 4：计算向量$\overrightarrow {x}$在法向量$\overrightarrow {a}$上的投影长度
投影长度$t=\dfrac {|\overrightarrow {x}\cdot \overrightarrow {a}|}{|\overrightarrow {a}|}=\dfrac {|(0,6,-3)\cdot (1,4,2)|}{\sqrt {{1}^{2}+{4}^{2}+{2}^{2}}}=\dfrac {|0+24-6|}{\sqrt {1+16+4}}=\dfrac {18}{\sqrt {21}}=\dfrac {18\sqrt {21}}{21}=\dfrac {6\sqrt {21}}{7}$。
步骤 5：确定点到平面的距离
点到平面的距离$d=t=\dfrac {6\sqrt {21}}{7}$。
平面方程为x+4y+2z+9=0，其法向量为$\overrightarrow {a}=(1,4,2)$。
步骤 2：确定平面上的一点
平面方程x+4y+2z+9=0上存在一点为(1,-3,1)。
步骤 3：计算点(1,3,-2)与平面上点(1,-3,1)构成的向量
向量$\overrightarrow {x}=(1-1,3-(-3),-2-1)=(0,6,-3)$。
步骤 4：计算向量$\overrightarrow {x}$在法向量$\overrightarrow {a}$上的投影长度
投影长度$t=\dfrac {|\overrightarrow {x}\cdot \overrightarrow {a}|}{|\overrightarrow {a}|}=\dfrac {|(0,6,-3)\cdot (1,4,2)|}{\sqrt {{1}^{2}+{4}^{2}+{2}^{2}}}=\dfrac {|0+24-6|}{\sqrt {1+16+4}}=\dfrac {18}{\sqrt {21}}=\dfrac {18\sqrt {21}}{21}=\dfrac {6\sqrt {21}}{7}$。
步骤 5：确定点到平面的距离
点到平面的距离$d=t=\dfrac {6\sqrt {21}}{7}$。