题目

设0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，P（A|B）+P（.A|.B）=1，则（　　）A. 事件A和B互不相容B. 事件A和B互相对立C. 事件A和B互不独立D. 事件A和B相互独立

设0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，P（A|B）+P（
.
A
|
.
B
）=1，则（　　）
A. 事件A和B互不相容
B. 事件A和B互相对立
C. 事件A和B互不独立
D. 事件A和B相互独立

题目解答

答案

∵P(
.
A
)＝1−P(A)，P(
.
B
)＝1−P(B)，P(
.
A
|
.
B
)＝
P(
.
A
.
B
)
P(
.
B
)
，
而：P(
.
A
.
B
)＝P(
.
B
)−P(A
.
B
)＝1−P(B)−P(A)+P(AB)
P(A|B)＝
P(AB)
P(B)

∴
P(AB)
P(B)
+
(1−P(B)−P(A)+P(AB))
(1−P(B))
＝1
于是：P（AB）（1-P（B））+P（B）（1-P（B）-P（A）+P（AB））=P（B）（1-P（B）），
即：P（AB）-P（AB）P（B）+P（B）-P（B）2-P（B）P（A）+P（B）P（AB）=P（B）-P（B）2
化简得：P（AB）-P（B）P（A）=0，
从而：P（AB）=P（A）P（B），
∴A，B事件相互独立，
由条件，不能判断出AB=Φ，
因而无法断定A与B是否互不相容．
故选：D．

解析

步骤 1：定义条件概率
根据条件概率的定义，P(A|B) = P(AB) / P(B)，其中P(AB)表示事件A和B同时发生的概率。
步骤 2：定义对立事件的概率
P(
.
A
|
.
B
) = P(
.
A
.
B
) / P(
.
B
)，其中P(
.
A
.
B
)表示事件A和B都不发生的概率，P(
.
B
)表示事件B不发生的概率。
步骤 3：利用对立事件的概率公式
P(
.
A
.
B
) = P(
.
B
) - P(A
.
B
) = 1 - P(B) - P(A) + P(AB)。
步骤 4：代入条件概率公式
将步骤3的结果代入步骤2的公式中，得到P(
.
A
|
.
B
) = (1 - P(B) - P(A) + P(AB)) / (1 - P(B))。
步骤 5：将步骤1和步骤4的结果代入题目条件
P(A|B) + P(
.
A
|
.
B
) = P(AB) / P(B) + (1 - P(B) - P(A) + P(AB)) / (1 - P(B)) = 1。
步骤 6：化简等式
化简等式得到P(AB) - P(AB)P(B) + P(B) - P(B)^2 - P(B)P(A) + P(B)P(AB) = P(B) - P(B)^2。
步骤 7：进一步化简
化简得到P(AB) - P(B)P(A) = 0，即P(AB) = P(A)P(B)。
步骤 8：判断事件A和B的关系
根据步骤7的结果，可以判断事件A和B相互独立。