题目

8.计算下列n阶行列式:(1)D_(n)=}x&1&...&11&x&...&1vdots&vdots&...&vdots1&1&...&x;(2)D_(n)=}1&2&2&...&22&2&2&...&22&2&3&...&2vdots&vdots&vdots&...&vdots2&2&2&...&n;

8.计算下列n阶行列式: (1)$D_{n}=\begin{vmatrix}x&1&\cdots&1\\1&x&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\1&1&\cdots&x\end{vmatrix}$; (2)$D_{n}=\begin{vmatrix}1&2&2&\cdots&2\\2&2&2&\cdots&2\\2&2&3&\cdots&2\\\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\2&2&2&\cdots&n\end{vmatrix}$;

题目解答

答案

(1) $ D_n = (x + n - 1)(x - 1)^{n-1} $
(2) $ D_n = 2(n-2)! $（对于 $ n \geq 2 $），或 $ D_1 = 1 $。

答案：
(1) $\boxed{(x + n - 1)(x - 1)^{n-1}}$
(2) $\boxed{2(n-2)!}$（$n \geq 2$），或 $\boxed{1}$（$n = 1$）。
（通常题目中 $n \geq 2$，故答案为 $2(n-2)!$。）

解析

本题主要考查n阶行列式的计算，解题思路是通过行列式的性质将行列式化为上三角行列式或利用行列式按行（列）展开法则进行计算。

(1) 计算行列式$D_{n}=\begin{vmatrix}x&1&\cdots&1\\1&x&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\1&1&\cdots&x\end{vmatrix}$

  • 第一步：将所有行加到第一行
    根据行列式的性质：行列式某行（列）的元素加上另一行（列）对应元素的$k$倍，行列式的值不变。
    将第$2$行到第$n$行都加到第$1$行，可得：
    $D_{n}=\begin{vmatrix}x+(n - 1)&x+(n - 1)&\cdots&x+(n - 1)\\1&x&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\1&1&\cdots&x\end{vmatrix}$
    提取第一行的公因子$x + n - 1$，得到：
    $D_{n}=(x + n - 1)\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\1&x&\cdots&1\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\1&1&\cdots&x\end{vmatrix}$
  • 第二步：将第一行乘以$-1$加到其余各行
    $D_{n}=(x + n - 1)\begin{vmatrix}1&1&\cdots&1\\0&x - 1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\0&0&\cdots&x - 1\end{vmatrix}$
    此时得到的行列式是上三角行列式，上三角行列式的值等于主对角线元素之积。
    所以$D_{n}=(x + n - 1)(x - 1)^{n - 1}$。

(2) 计算行列式$D_{n}=\begin{vmatrix}1&2&2&\cdots&2\\2&2&2&\cdots&2\\2&2&3&\cdots&2\\\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\2&2&2&\cdots&n\end{vmatrix}$

  • 当$n = 1$时
    $D_{1}=\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}=1$
  • 当$n \geq 2$时
    • 第一步：将第一行乘以$-1$加到其余各行
      $D_{n}=\begin{vmatrix}1&2&2&\cdots&2\\1&0&0&\cdots&0\\1&0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\1&0&0&\cdots&n - 2\end{vmatrix}$
    • 第二步：按第一列展开
      根据行列式按列展开法则：$D_{n}=\sum_{i = 1}^{n}a_{i1}A_{i1}$（其中$a_{i1}$是第$i$行第$1$列的元素，$A_{i1}$是$a_{i1}$的代数余子式）。
      $D_{n}=1\times\begin{vmatrix}0&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\0&0&\cdots&n - 2\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}2&2&\cdots&2\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\0&0&\cdots&n - 2\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}2&2&\cdots&2\\0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\0&0&\cdots&n - 2\end{vmatrix}-\cdots+1\times\begin{vmatrix}2&2&\cdots&2\\0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\0&0&\cdots&0\end{vmatrix}$
      除了第一项外，其余项的行列式都有一行元素全为$0$，所以其余项的值都为$0$。
      则$D_{n}=\begin{vmatrix}0&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\0&0&\cdots&n - 2\end{vmatrix}$
      这是一个下三角行列式，下三角行列式的值等于主对角线元素之积。
      所以$D_{n}=2\times1\times2\times\cdots\times(n - 2)=2(n - 2)!$。