4.给定一阶微分方程(dy)/(dx)=2x, (1)求出它的通解;(2)求通过点(1,4)的特解;(3)求出与直线y=2x+3相切的解;(4)求出满足条件int_(0)^1ydx=2的解;(5)绘出(2),(3),(4)中的解的图形

为了解决给定的一阶微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$，我们将按照以下步骤进行：

(1) 求出它的通解

首先，我们对等式两边关于 $x$ 进行积分：
$\int \frac{dy}{dx} \, dx = \int 2x \, dx$
左边简化为 $y$，右边是 $x^2$ 加上一个积分常数 $C$：
$y = x^2 + C$
因此，微分方程的通解是：
$y = x^2 + C$

(2) 求通过点(1,4)的特解

为了找到通过点 $(1,4)$ 的特解，我们将 $x = 1$ 和 $y = 4$ 代入通解中：
$4 = 1^2 + C \implies 4 = 1 + C \implies C = 3$
因此，特解是：
$y = x^2 + 3$

(3) 求出与直线 $y = 2x + 3$ 相切的解

在切点处，解的斜率必须等于直线 $y = 2x + 3$ 的斜率，即 2。解 $y = x^2 + C$ 的斜率由其导数给出：
$\frac{dy}{dx} = 2x$
将导数设为 2，我们得到：
$2x = 2 \implies x = 1$
将 $x = 1$ 代入直线方程 $y = 2x + 3$ 中，找到对应的 $y$-坐标：
$y = 2 \cdot 1 + 3 = 5$
因此，切点是 $(1,5)$。现在，我们将 $x = 1$ 和 $y = 5$ 代入通解中：
$5 = 1^2 + C \implies 5 = 1 + C \implies C = 4$
因此，与直线相切的解是：
$y = x^2 + 4$

(4) 求出满足条件 $\int_{0}^{1} y \, dx = 2$ 的解

首先，我们从 $0$ 到 $1$ 积分通解 $y = x^2 + C$：
$\int_{0}^{1} (x^2 + C) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + Cx \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} + C \cdot 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + C \cdot 0 \right) = \frac{1}{3} + C$
我们将这个结果设为 2：
$\frac{1}{3} + C = 2 \implies C = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$
因此，满足条件的解是：
$y = x^2 + \frac{5}{3}$

(5) 绘出(2),(3),(4)中的解的图形

(2)中的解是 $y = x^2 + 3$，(3)中的解是 $y = x^2 + 4$，(4)中的解是 $y = x^2 + \frac{5}{3}$。这些是开口向上的抛物线，具有不同的 $y$-截距。

最终答案是：
$\boxed{\begin{array}{ll}\text{(1) 通解:} & y = x^2 + C \\\text{(2) 特解:} & y = x^2 + 3 \\\text{(3) 与直线相切的解:} & y = x^2 + 4 \\\text{(4) 满足条件的解:} & y = x^2 + \frac{5}{3} \\\end{array}}$