用拉普拉斯变换法解微分方程y"(t)+5y"(t)+6y(t)=3f(t)的零输入响应和零状态响应。(1)已知 (t)=g(t) (0)=1, '(0)=2-|||-(2)已知 (t)=(e)^-tg(t) (0)=0, '(0)=1

步骤 1：对微分方程进行拉普拉斯变换
对微分方程 $y''(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 3f(t)$ 进行拉普拉斯变换，利用时域微分特性，得到：
$$
s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 5(sY(s) - y(0)) + 6Y(s) = 3F(s)
$$
步骤 2：整理拉普拉斯变换后的方程
将初始条件代入，整理得到：
$$
Y(s) = \frac{sy(0) + y'(0) + 5y(0)}{s^2 + 5s + 6} + \frac{3}{s^2 + 5s + 6}F(s)
$$
步骤 3：求解零输入响应和零状态响应
(1) 当 $f(t) = g(t)$，$y(0) = 1$，$y'(0) = 2$ 时，$F(s) = \frac{1}{s}$，代入上式得到：
$$
Y(s) = \frac{s + 7}{s^2 + 5s + 6} + \frac{3}{s(s^2 + 5s + 6)}
$$
对 $Y(s)$ 进行部分分式分解，得到：
$$
Y(s) = \frac{5}{s + 2} - \frac{4}{s + 3} + \frac{1}{2s} - \frac{3}{2(s + 2)} + \frac{1}{s + 3}
$$
对 $Y(s)$ 取逆变换，得到零输入响应和零状态响应：
$$
y_2(t) = (5e^{-2t} - 4e^{-3t})g(t)
$$
$$
y_f(t) = (\frac{1}{2} - \frac{3}{2}e^{-t} + e^{-3t})g(t)
$$
(2) 当 $f(t) = e^{-t}g(t)$，$y(0) = 0$，$y'(0) = 1$ 时，$F(s) = \frac{1}{s + 1}$，代入上式得到：
$$
Y(s) = \frac{1}{s^2 + 5s + 6} + \frac{3}{(s + 1)(s^2 + 5s + 6)}
$$
对 $Y(s)$ 进行部分分式分解，得到：
$$
Y(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{1}{s + 3} + \frac{3}{2(s + 1)} - \frac{3}{s + 2} + \frac{3}{2(s + 3)}
$$
对 $Y(s)$ 取逆变换，得到零输入响应和零状态响应：
$$
y_2(t) = (e^{-2t} - e^{-3t})g(t)
$$
$$
y_f(t) = (\frac{3}{2}e^{-t} - 3e^{-2t} + \frac{3}{2}e^{-3t})g(t)
$$