题目
设A,B为n阶方阵,下列命题中正确的是 () .-|||-(A)若 =B, 则 sim B-|||-(B)若 sim B, 则 =B-|||-(C)若 approx B, 则A与B等价 (Acong B)-|||-(D)若A与B等价(即 subseteq B, 则 A=B
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义矩阵间的关系
- 等价：设A,B均为 $m\times n$ 矩阵，若存在可逆矩阵P和Q，使得 $B=PAQ$，则称 A与B等价，记为 $A=B$。
- 相似：设A,B均为n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得 $B={P}^{-1}AP$，则称A与B相似，记为 $A\sim B$。
- 合同：设A,B均为n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得 $B=C'AC$，则称A与B合同，记为 $A\approx B$。
步骤 2：分析选项
- (A) 若 A=B，则 $A\sim B$：不一定成立，因为等价关系不保证相似关系。
- (B) 若 $A\sim B$，则 $A\approx B$：不一定成立，因为相似关系不保证合同关系。
- (C) 若 $A\approx B$，则A与B等价：成立，因为合同关系是等价关系的一种特殊情况。
- (D) 若A与B等价(即 $A\subseteq B$)，则 A=B：不一定成立，因为等价关系不保证矩阵相等。
- 等价：设A,B均为 $m\times n$ 矩阵，若存在可逆矩阵P和Q，使得 $B=PAQ$，则称 A与B等价，记为 $A=B$。
- 相似：设A,B均为n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使得 $B={P}^{-1}AP$，则称A与B相似，记为 $A\sim B$。
- 合同：设A,B均为n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得 $B=C'AC$，则称A与B合同，记为 $A\approx B$。
步骤 2：分析选项
- (A) 若 A=B，则 $A\sim B$：不一定成立，因为等价关系不保证相似关系。
- (B) 若 $A\sim B$，则 $A\approx B$：不一定成立，因为相似关系不保证合同关系。
- (C) 若 $A\approx B$，则A与B等价：成立，因为合同关系是等价关系的一种特殊情况。
- (D) 若A与B等价(即 $A\subseteq B$)，则 A=B：不一定成立，因为等价关系不保证矩阵相等。