9.求微分方程(y^2-6x)y'+2y=0的通解.

本题考查一阶线性线性微分方程的求解。解题的关键思路是通过变量代换将给定的微分方程转化为一阶线性微分方程的标准形式，然后利用一阶线性微分方程的通解公式进行求解。

1. 将原方程变形为关于$\frac{dx}{dy}$的方程：
   • 已知原方程$(y^{2}-6x)y'+2y=0)，因为\(y'=\frac{dy}{dx}$，所以原方程可写为$(y^{2}-6x)\frac{dy}{dx}+2y = 0$。
   • 移项移项可得$(y^{2}-6x)\frac{dy}{dx}=-2y$。
   • 两边同时除以$\frac{1}{dy}$和$\frac{1}{y^{2}-6x}$，得到$\frac{dx}{dy}{dy(y^{2}-6x)}=\frac{-2ydy}{(y^{2}-6x)dy}$，即求解化简为后续计算做准备。
   • 进一步变形为$\frac{dx}{dy}=\frac{y^{2}-6x}{-2y}=\frac{3x}{y}-\frac{y}{2}$，即$\frac{dx}{dy}-\frac{3x}{y}=-\frac{y}{2}$，此时方程已化为一阶线性微分方程的标准形式$\frac{dx}{dy}+P(y)x)=Q(y)$，其中$P(y)=-\frac{3}{y}$，$Q(y)=-\frac{y}{2}{}$。
2. 计算$e^{\int P(y)dy}$：
   • 先计算$\int P(y)dy$，$\int P(y)dy=\int(-\frac{3}{y})dy=-3\int\frac{1}{y}{}dy$。
   • 根据积分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x| + C$，可得$-3\int\frac{1}{y}dy=-3\ln|y|=\ln|y^{-3}|$。
   • 所以$e^{\int P(y)dy}=e^{\ln|y^{-3}|}=y^{-3}$。
3. 计算$\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy$：
   • 把$Q(y)=-\frac{y}{2}$和$e^{\int P(y)dy}=y^{-3}$代入$\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy$，得到$\int(-\frac{y}{2})y^{-3}dy$。
   • 化简$(-\frac{y}{2})y^{-3}=-\frac{1}{2}y^{-2}$，则$\int(-\frac{1}{2}y^{-2})dy=-\frac{1}{2}\int y^{-2}dy$。
   • 根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得$-\frac{1}{2}\int y^{-2}dy=-\frac{1}{2}\times\frac{y^{-2 + 1}}{-2+1}+C=\frac{1}{2y}+C$。
4. 代入通解公式求通解：
   • 一阶线性微分方程$\frac{dx}{dy}+P(y)x = Q(y)$的通解公式为$x = e^{-\int P(y)dy}(\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy + C)$。
   • 因为$e^{\int P(y)dy}=y^{-3}$，所以$e^{-\int P(y)dy}=y^{3}$。
   • 把$e^{-\int P(y)dy}=y^{3}$和$\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy=\frac{1}{2y}$代入通解公式，可得$x = y^{3}(\frac{1}{2y}+C)$。
   • 展开式子得$x=\frac{y^{2}}{2}+Cy^{3}$。