262 设积分区域 = (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant 2x+2y} int ((x)^2+xy+(y)^2)d=-|||-(A)6π. (B)8π. C)10π. (D)12π.A、AB、BC、CD、D

考查要点：本题主要考查二重积分的计算，涉及积分区域的几何变换、极坐标的应用以及对称性的利用。

解题核心思路：

1. 确定积分区域：将不等式转化为标准圆的方程，确定圆心和半径。
2. 坐标系平移：通过平移坐标系将圆心移到原点，简化积分区域。
3. 极坐标变换：利用极坐标计算积分，结合对称性简化被积函数。

破题关键点：

• 积分区域的几何意义：通过配方将原不等式转化为圆的标准方程。
• 对称性简化计算：利用极坐标下奇偶函数的积分特性，快速排除部分项。

步骤1：确定积分区域

原积分区域为 $x^2 + y^2 \leq 2x + 2y$，配方得：
$(x-1)^2 + (y-1)^2 \leq 2$
即以 $(1,1)$ 为圆心，半径为 $\sqrt{2}$ 的圆。

步骤2：坐标系平移

设 $u = x-1$，$v = y-1$，积分区域变为 $u^2 + v^2 \leq 2$。被积函数转换为：
$\begin{aligned}x^2 + xy + y^2 &= (u+1)^2 + (u+1)(v+1) + (v+1)^2 \\&= u^2 + v^2 + uv + 3u + 3v + 3\end{aligned}$

步骤3：极坐标变换

令 $u = r\cos\theta$，$v = r\sin\theta$，雅可比行列式为 $r$。积分变为：
$\iint_{u^2+v^2\leq2} (r^2 + r^2\cos\theta\sin\theta + 3r\cos\theta + 3r\sin\theta + 3) \cdot r \, dr \, d\theta$

步骤4：分项积分

1. $r^3$ 项：$\int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{2}} r^3 \, dr \, d\theta = 2\pi \cdot \frac{(\sqrt{2})^4}{4} = 2\pi$
2. $r^3\cos\theta\sin\theta$ 项：$\int_0^{2\pi} \cos\theta\sin\theta \, d\theta = 0$
3. $3r^2\cos\theta$ 和 $3r^2\sin\theta$ 项：$\int_0^{2\pi} \cos\theta \, d\theta = \int_0^{2\pi} \sin\theta \, d\theta = 0$
4. $3r$ 项：$\int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{2}} 3r \, dr \, d\theta = 3 \cdot 2\pi \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = 6\pi$

总积分：$2\pi + 6\pi = 8\pi$