题目
262 设积分区域 = (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant 2x+2y} int ((x)^2+xy+(y)^2)d=-|||-(A)6π. (B)8π. C)10π. (D)12π.A、AB、BC、CD、D
- A、A
- B、B
- C、C
- D、D
题目解答
答案
B
解析
步骤 1：确定积分区域
首先，我们确定积分区域 $D$。给定的不等式是 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2x+2y$。为了简化这个不等式，我们将其重写为标准形式。将不等式两边同时减去 $2x+2y$，得到 ${x}^{2}+{y}^{2}-2x-2y\leqslant 0$。接下来，我们完成平方，得到 $(x-1)^2 + (y-1)^2 \leqslant 2$。这表示积分区域 $D$ 是一个以 $(1,1)$ 为中心，半径为 $\sqrt{2}$ 的圆。
步骤 2：转换为极坐标
为了简化积分计算，我们使用极坐标。设 $x = 1 + r\cos\theta$，$y = 1 + r\sin\theta$，其中 $r$ 是从圆心到点的距离，$\theta$ 是从正x轴到点的连线与x轴的夹角。积分区域 $D$ 在极坐标下表示为 $0 \leqslant r \leqslant \sqrt{2}$，$0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi$。
步骤 3：计算积分
将积分 $\iint ({x}^{2}+xy+{y}^{2})dxdy$ 转换为极坐标下的形式。首先，计算 $x^2 + xy + y^2$ 在极坐标下的表达式。代入 $x = 1 + r\cos\theta$ 和 $y = 1 + r\sin\theta$，得到 $x^2 + xy + y^2 = (1 + r\cos\theta)^2 + (1 + r\cos\theta)(1 + r\sin\theta) + (1 + r\sin\theta)^2$。简化后，得到 $x^2 + xy + y^2 = 3 + 2r(\cos\theta + \sin\theta) + r^2$。因此，积分变为 $\iint (3 + 2r(\cos\theta + \sin\theta) + r^2) r dr d\theta$。将积分区域代入，得到 $\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} (3r + 2r^2(\cos\theta + \sin\theta) + r^3) dr d\theta$。计算这个积分，得到 $8\pi$。
首先，我们确定积分区域 $D$。给定的不等式是 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2x+2y$。为了简化这个不等式，我们将其重写为标准形式。将不等式两边同时减去 $2x+2y$，得到 ${x}^{2}+{y}^{2}-2x-2y\leqslant 0$。接下来，我们完成平方，得到 $(x-1)^2 + (y-1)^2 \leqslant 2$。这表示积分区域 $D$ 是一个以 $(1,1)$ 为中心，半径为 $\sqrt{2}$ 的圆。
步骤 2：转换为极坐标
为了简化积分计算，我们使用极坐标。设 $x = 1 + r\cos\theta$，$y = 1 + r\sin\theta$，其中 $r$ 是从圆心到点的距离，$\theta$ 是从正x轴到点的连线与x轴的夹角。积分区域 $D$ 在极坐标下表示为 $0 \leqslant r \leqslant \sqrt{2}$，$0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi$。
步骤 3：计算积分
将积分 $\iint ({x}^{2}+xy+{y}^{2})dxdy$ 转换为极坐标下的形式。首先，计算 $x^2 + xy + y^2$ 在极坐标下的表达式。代入 $x = 1 + r\cos\theta$ 和 $y = 1 + r\sin\theta$，得到 $x^2 + xy + y^2 = (1 + r\cos\theta)^2 + (1 + r\cos\theta)(1 + r\sin\theta) + (1 + r\sin\theta)^2$。简化后，得到 $x^2 + xy + y^2 = 3 + 2r(\cos\theta + \sin\theta) + r^2$。因此，积分变为 $\iint (3 + 2r(\cos\theta + \sin\theta) + r^2) r dr d\theta$。将积分区域代入，得到 $\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\sqrt{2}} (3r + 2r^2(\cos\theta + \sin\theta) + r^3) dr d\theta$。计算这个积分，得到 $8\pi$。