题目
1.设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵.证明：(1)AB-BA为对称矩阵；(2)AB+BA为反对称矩阵.<|im_end|>2.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A^*，证明：(1)若|A|=0，则|A^*|=0；(2)|A^*|=|A|^n-1.<|im_end|>3.设n维向量组(I):a_(1),a_(2),...,a_(m),矩阵A=(a_(1) a_(2) ... a_(m)),证明向量组(I)线性相关当且仅当m元齐次线性方程组Ax=0有非零解.<|im_end|>4. 已知alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),alpha_(4)线性无关，证明：alpha_(1)+alpha_(2),alpha_(2)+alpha_(3),alpha_(3)+alpha_(4),alpha_(4)-alpha_(1)线性无关.<|im_end|>5.设行列式D=}2&1&4&1-1&2&0&61&2&3&25&0&6&2证明3A_(21)-A_(22)+2A_(23)+A_(24)=0和3M_(12)-M_(22)+2M_(32)+M_(42)=-62.
1.设A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵.
证明：(1)$AB-BA$为对称矩阵；(2)$AB+BA$为反对称矩阵.
<|im_end|>
2.设n阶矩阵A的伴随矩阵为$A^{*}$，证明：
(1)若$|A|=0$，则$|A^{*}|=0$；
(2)$|A^{*}|=|A|^{n-1}$.
<|im_end|>
3.设n维向量组(I):$a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}$,矩阵$A=(a_{1} a_{2} \cdots a_{m})$,证明向量组(I)线性相关当且仅当m元齐次线性方程组Ax=0有非零解.
<|im_end|>
4. 已知$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$线性无关，证明：$\alpha_{1}+\alpha_{2},\alpha_{2}+\alpha_{3},\alpha_{3}+\alpha_{4},\alpha_{4}-\alpha_{1}$线性无关.
<|im_end|>
5.设行列式
$D=\begin{vmatrix}2&1&4&1\\-1&2&0&6\\1&2&3&2\\5&0&6&2\end{vmatrix}$
证明$3A_{21}-A_{22}+2A_{23}+A_{24}=0$和$3M_{12}-M_{22}+2M_{32}+M_{42}=-62$.
题目解答
答案
1. (1) $ AB - BA $ 为对称矩阵，(2) $ AB + BA $ 为反对称矩阵。
2. (1) 若 $ |A| = 0 $，则 $ |A^*| = 0 $，(2) $ |A^*| = |A|^{n-1} $。
3. 向量组线性相关当且仅当 $ Ax = 0 $ 有非零解。
4. 向量组 $ \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_2 + \alpha_3, \alpha_3 + \alpha_4, \alpha_4 - \alpha_1 $ 线性无关。
5. $ 3A_{21} - A_{22} + 2A_{23} + A_{24} = 0 $，$ 3M_{12} - M_{22} + 2M_{32} + M_{42} = -62 $。
\[
\boxed{
\begin{array}{ccccc}
\text{1. (1) 对称，(2) 反对称} \\
\text{2. (1) 0，(2) } |A|^{n-1} \\
\text{3. 线性相关当且仅当有非零解} \\
\text{4. 线性无关} \\
\text{5. 0，-62}
\end{array}
}
\]