题目
已知Rt△ABC中，直角边AC、BC的长度分别为20、15，动点P从C出发，沿三角形边界按C→B→A方向移动；动点Q从C出发，沿三角形边界按C→A→B方向移动，移动到两点相遇时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍．设动点P移动的距离为x，△CPQ的面积为y，试求y与x之间的函数关系．.
已知Rt△ABC中，直角边AC、BC的长度分别为20、15，动点P从C出发，沿三角形边界按C→B→A方向移动；动点Q从C出发，沿三角形边界按C→A→B方向移动，移动到两点相遇时为止，且点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍．设动点P移动的距离为x，△CPQ的面积为y，试求y与x之间的函数关系．
.题目解答
答案
【解答】解：∵Rt△ABC中，AC=20，BC=15，
∴AB=25，sinB=
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∵点Q移动的速度是点P移动的速度的2倍，
∴设动点P移动的距离为x，则动点Q移动的距离为2x，
若两点相遇时，则满足x+2x=20+15+25，
即3x=60，即x=20．
①若Q在BC上，则0≤2x≤15，即0≤x≤
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△CPQ的面积为y=
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②若Q在AB上，P在CA上时，满足
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解得
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则BQ=2x-BC=2x-15，BE=BQcosB=（2x-15）×
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| 3(2x-15) |
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则三角形CPQ的高QF=EC=BC-BE=15-
| 3(2x-15) |
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| 120-6x |
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则△CPQ的面积为y=
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| 120-6x |
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| -3x2+60x |
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即y=
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解析
步骤 1：确定三角形的边长和角度
在直角三角形ABC中，AC=20，BC=15，根据勾股定理，AB=25。根据三角函数，sinB=4/5，cosB=3/5。
步骤 2：确定动点P和Q的移动距离
设动点P移动的距离为x，则动点Q移动的距离为2x。当两点相遇时，满足x+2x=20+15+25，即3x=60，解得x=20。
步骤 3：分段讨论△CPQ的面积
- 当Q在BC上时，0≤2x≤15，即0≤x≤15/2，此时△CPQ的面积为y=1/2•CQ•CP=1/2•x•2x=x^2。
- 当Q在AB上，P在CA上时，满足15≤2x≤40，0≤x≤20，解得15/2≤x≤20。此时，BQ=2x-15，BE=BQcosB=(2x-15)×3/5=3(2x-15)/5，QF=EC=BC-BE=15-3(2x-15)/5=(120-6x)/5，△CPQ的面积为y=1/2•QF•CP=1/2•x•(120-6x)/5=(-3x^2+60x)/5。
在直角三角形ABC中，AC=20，BC=15，根据勾股定理，AB=25。根据三角函数，sinB=4/5，cosB=3/5。
步骤 2：确定动点P和Q的移动距离
设动点P移动的距离为x，则动点Q移动的距离为2x。当两点相遇时，满足x+2x=20+15+25，即3x=60，解得x=20。
步骤 3：分段讨论△CPQ的面积
- 当Q在BC上时，0≤2x≤15，即0≤x≤15/2，此时△CPQ的面积为y=1/2•CQ•CP=1/2•x•2x=x^2。
- 当Q在AB上，P在CA上时，满足15≤2x≤40，0≤x≤20，解得15/2≤x≤20。此时，BQ=2x-15，BE=BQcosB=(2x-15)×3/5=3(2x-15)/5，QF=EC=BC-BE=15-3(2x-15)/5=(120-6x)/5，△CPQ的面积为y=1/2•QF•CP=1/2•x•(120-6x)/5=(-3x^2+60x)/5。