题目
设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),联合分布律如下Y·-|||-X··· 0. 1. 2.-|||--1. 0.2 0.1- 0.1:-|||-0. 0. 0.3 0.-|||-2. 0.1 0. 0.2则F(1,0) =( )A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.6
设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),联合分布律如下

则F(1,0) =( )
A. 0.2
B. 0.3
C. 0.4
D. 0.6
题目解答
答案
二维随机变量(X,Y)的联合分布律为:

由分布律可知
P(x=-1,y=0)=0.2
P(x=0,y=0)=0
P(x=2,y=0)=0.1
而F(1,0) =P(x≤1,y≤0)
=P(x=-1,y=0)+P(x=0,y=0)
=0.2+0
=0.2
∴F(1,0) =0.2,选A
解析
考查要点:本题主要考查二维随机变量联合分布函数的理解与计算,需要明确联合分布函数的定义,并能根据联合分布律正确求和对应区域的概率。
解题核心思路:
联合分布函数$F(x,y)$表示$X \leq x$且$Y \leq y$的概率。因此,计算$F(1,0)$时,需找到所有满足$X \leq 1$且$Y \leq 0$的$(X,Y)$组合,并求和对应概率。
破题关键点:
- 确定有效区域:$Y \leq 0$意味着$Y$只能取$0$(因$Y$的可能取值为$0,1,2$);
- 筛选$X$的取值:$X \leq 1$的可能取值为$-1$和$0$(因$X$的可能取值为$-1,0,2$,其中$2 > 1$需排除);
- 查表求和:根据联合分布律表格,找到对应$(X,Y)$组合的概率并相加。
根据联合分布律表格,$Y$的取值为$0,1,2$,$X$的取值为$-1,0,2$。具体概率分布如下:
| X \ Y | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| -1 | 0.2 | 0.1 | 0.1 |
| 0 | 0 | 0.3 | 0.2 |
| 2 | 0.1 | — | — |
计算步骤:
- 确定$Y \leq 0$的取值:$Y$只能取$0$;
- 确定$X \leq 1$的取值:$X$可取$-1$和$0$($X=2$不满足条件);
- 查找对应概率:
- $P(X=-1, Y=0) = 0.2$
- $P(X=0, Y=0) = 0$
- 求和:$F(1,0) = 0.2 + 0 = 0.2$。