题目

12.(2017·11浙江选考)十进制正整数n转换为二进制数,-|||-该二进制数末位是"0"。下列说法正确的是 ()-|||-A.无法确定n是奇数还是偶数-|||-B.若该二进制数的位数是4,则n的最大值是15-|||-C.n与 n+1 分别转换为二进制数,这两个二进制数的位-|||-数可能不同-|||-D.该二进制数末位的"0"去掉后,再转换为十进制数,所-|||-得的值是 n/2

题目解答

答案

解析

考查要点：二进制数的性质、十进制与二进制的转换关系、二进制数位数与数值的关系。

解题核心思路：

  1. 二进制末位为0的性质：末位为0表示该数是偶数。
  2. 二进制数位数与最大值的关系：位数为$k$的二进制数最大值为$2^{k}-1$，但末位为0时需调整。
  3. 二进制数位数变化规律：相邻整数$n$和$n+1$的二进制位数通常相同。
  4. 二进制数去掉末位0的运算意义：相当于整除2。

破题关键点：

  • 选项B需注意末位为0的限制，最大值应为$2^{k}-2$。
  • 选项C需通过实例验证位数是否可能不同。
  • 选项D可通过位权展开或实例验证。

选项A

末位为0的二进制数必为偶数，因此可以直接判断$n$是偶数，选项A错误。

选项B

若二进制数位数为4且末位为0，最大值为$1110_{\text{B}} = 14_{\text{D}}$，而非$15_{\text{D}}$，选项B错误。

选项C

$n$为偶数，$n+1$为奇数，二进制形式仅末位不同，位数必然相同。例如：

  • $n=2_{\text{D}}=10_{\text{B}}$，$n+1=3_{\text{D}}=11_{\text{B}}$（均为2位）。
  • $n=14_{\text{D}}=1110_{\text{B}}$，$n+1=15_{\text{D}}=1111_{\text{B}}$（均为4位）。
    选项C错误。

选项D

去掉末位0后，二进制数相当于原数除以2。例如：

  • $n=6_{\text{D}}=110_{\text{B}}$，去掉末位0得$11_{\text{B}}=3_{\text{D}}=6/2$。
    选项D正确。