13.-|||-一平面弹性波在某介质中以速度 100m/s 传播,其振幅和频-|||-率分别为0.1mm和1000Hz。若该介质的密度为 /(m)^3,-|||-则1分钟内通过垂直于波的传播方向、面积为44cm^2的面元-|||-的波的能量最接近下列数值中的哪一个?-|||-A 73J-|||-B 717J-|||-C 237J-|||-D 123J

本题考查平面弹性波的能量计算，核心在于掌握能量密度公式和能量传递速率的推导。关键点包括：

1. 能量密度公式：$w = \frac{1}{2} \rho A^2 (2\pi f)^2$，其中$\rho$为介质密度，$A$为振幅，$f$为频率。
2. 总能量计算：$E = w \cdot v \cdot S \cdot t$，其中$v$为波速，$S$为面积，$t$为时间。
3. 单位换算：需将振幅（毫米→米）、面积（平方厘米→平方米）统一为国际单位。

已知条件

• 波速 $v = 100 \, \text{m/s}$
• 振幅 $A = 0.11 \, \text{mm} = 0.00011 \, \text{m}$
• 频率 $f = 1000 \, \text{Hz}$
• 介质密度 $\rho = 500 \, \text{kg/m}^3$
• 面积 $S = 4 \, \text{cm}^2 = 0.0004 \, \text{m}^2$
• 时间 $t = 60 \, \text{s}$

步骤1：计算能量密度

能量密度公式为：
$w = \frac{1}{2} \rho A^2 (2\pi f)^2$
代入数据：
$\begin{aligned}A^2 &= (0.00011)^2 = 1.21 \times 10^{-8} \, \text{m}^2, \\(2\pi f)^2 &= (2\pi \times 1000)^2 \approx 39478417.6, \\w &= 0.5 \times 500 \times 1.21 \times 10^{-8} \times 39478417.6 \\&\approx 119.14 \, \text{J/m}^3.\end{aligned}$

步骤2：计算总能量

总能量公式为：
$E = w \cdot v \cdot S \cdot t$
代入数据：
$\begin{aligned}E &= 119.14 \times 100 \times 0.0004 \times 60 \\&= 119.14 \times 2.4 \\&\approx 285.94 \, \text{J}.\end{aligned}$

注意事项

解析中结果为$236.87 \, \text{J}$，对应选项C，但计算发现题目中振幅可能应为$0.10 \, \text{mm}$（解析中误用）。若按$A = 0.10 \, \text{mm}$计算，结果为$237 \, \text{J}$，与选项C一致。