求曲线 (x)^2+y+(e)^xy=2 在点(0,1)处的切线方程.

考查要点：本题主要考查隐函数求导法的应用，以及利用导数求曲线在某一点处的切线方程。

解题核心思路：

1. 验证点是否在曲线上：将点坐标代入原方程，确认其满足方程。
2. 隐函数求导：对原方程两边关于$x$求导，解出$\frac{dy}{dx}$的表达式。
3. 代入求值：将点的坐标代入导数表达式，得到切线的斜率。
4. 写切线方程：利用点斜式方程写出切线方程。

破题关键点：

• 正确应用链式法则和乘积法则对$e^{xy}$项求导。
• 整理方程，将含$\frac{dy}{dx}$的项合并，解出$\frac{dy}{dx}$。
• 代入点的坐标时注意化简，避免计算错误。

步骤1：验证点$(0,1)$在曲线上
将$x=0$，$y=1$代入原方程：
$3(0)^2 + 1 + e^{0 \cdot 1} = 0 + 1 + 1 = 2,$
等式成立，说明点$(0,1)$在曲线上。

步骤2：对原方程两边关于$x$求导
原方程：
$3x^2 + y + e^{xy} = 2.$
对两边求导：

1. $3x^2$的导数：$6x$。
2. $y$的导数：$\frac{dy}{dx}$。
3. $e^{xy}$的导数：
   • 外函数导数为$e^{xy}$，内函数$xy$的导数为$x\frac{dy}{dx} + y$（乘积法则）。
   • 因此，整体导数为$e^{xy}(x\frac{dy}{dx} + y)$。

综上，导数方程为：
$6x + \frac{dy}{dx} + e^{xy}(x\frac{dy}{dx} + y) = 0.$

步骤3：整理方程解出$\frac{dy}{dx}$
将含$\frac{dy}{dx}$的项合并：
$\frac{dy}{dx}\left[1 + e^{xy} \cdot x\right] = -6x - e^{xy} \cdot y.$
解得：
$\frac{dy}{dx} = \frac{-6x - e^{xy} \cdot y}{1 + e^{xy} \cdot x}.$

步骤4：代入点$(0,1)$求斜率
将$x=0$，$y=1$代入：
$\frac{dy}{dx} = \frac{-6 \cdot 0 - e^{0 \cdot 1} \cdot 1}{1 + e^{0 \cdot 1} \cdot 0} = \frac{0 - 1 \cdot 1}{1 + 0} = -1.$
因此，切线的斜率为$-1$。

步骤5：写切线方程
利用点斜式$y - y_1 = m(x - x_1)$，代入$(0,1)$和$m=-1$：
$y - 1 = -1(x - 0) \implies y = -x + 1.$