题目

计算二重积分 iint_(D) (sin y)/(y) dx , dy，其中 D 是由直线 y = (pi)/(2)，y = x 及 y 轴所围成的闭区域。

计算二重积分 $\iint_{D} \frac{\sin y}{y} dx \, dy$，其中 $D$ 是由直线 $y = \frac{\pi}{2}$，$y = x$ 及 $y$ 轴所围成的闭区域。

题目解答

答案

由题意可知：积分区域为 $D=\{(x,y) \mid 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \quad x \leq y \leq \frac{\pi}{2}\}=\{(x,y) \mid 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}, \quad 0 \leq x \leq y\}$ $\therefore \int_{D} \frac{\sin y}{x} \, dx \, dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin y}{x} \, dy \int_{0}^{y} \, dx$ $= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin y \, dy = 1 - \cos \frac{\pi}{2}$ $= 1$

解析

考查要点：本题主要考查二重积分的计算，重点在于积分区域的确定和积分顺序的合理选择，同时需要掌握交换积分次序的方法。

解题核心思路：

  1. 确定积分区域：通过分析直线$y = \frac{\pi}{2}$、$y = x$和$y$轴围成的区域，明确$x$和$y$的取值范围。
  2. 选择积分次序：通过交换积分次序，将复杂的积分转化为容易计算的形式。
  3. 简化积分计算：利用被积函数的特性，简化积分过程，避免复杂的计算。

破题关键点：

  • 积分区域的几何形状：区域$D$是第一象限内的三角形，需注意$x$和$y$的上下限关系。
  • 被积函数的简化：通过交换积分次序，使被积函数中的分母$y$在积分过程中被抵消，从而简化计算。

步骤1：确定积分区域
积分区域$D$由直线$y = \frac{\pi}{2}$、$y = x$和$y$轴围成，可表示为：
$D = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \ x \leq y \leq \frac{\pi}{2}\} \quad \text{或} \quad D = \{(x, y) \mid 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}, \ 0 \leq x \leq y\}.$

步骤2：选择积分次序
选择先对$x$积分，再对$y$积分。此时被积函数$\frac{\sin y}{y}$与$x$无关，积分过程简化为：
$\iint_{D} \frac{\sin y}{y} dx \, dy = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \int_{0}^{y} \frac{\sin y}{y} dx \right) dy.$

步骤3：计算内层积分
内层积分对$x$积分，$\frac{\sin y}{y}$视为常数：
$\int_{0}^{y} \frac{\sin y}{y} dx = \frac{\sin y}{y} \cdot (y - 0) = \sin y.$

步骤4：计算外层积分
外层积分变为对$\sin y$在$[0, \frac{\pi}{2}]$上的积分：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin y \, dy = \left[ -\cos y \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \frac{\pi}{2} + \cos 0 = 1.$