题目
已知f(x)在f(x)的某邻域有定义，且f(x)，则f(x)存在是f(x)在f(x)处可导的（ ）。A.充分必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分条件但非必要条件D.既非必要也非充分条件
已知
在
的某邻域有定义，且
，则
存在是在处可导的（ ）。
A.充分必要条件
B.必要条件但非充分条件
C.充分条件但非必要条件
D.既非必要也非充分条件
题目解答
答案
解：
充分性：
考虑到，因此当
，
，根据换元法可得：
存在，因此
在处可导，充分性成立；
必要性：
若
存在，即极限
存在，令
，考虑到，因此有
存在，必要性成立。
综上所述，存在是在处可导的充分必要条件，因此选A。
解析
步骤 1：充分性证明
考虑到$\lim_{x\rightarrow 0}\varphi(x)=0$，因此当$x\rightarrow 0$时，$\varphi(x)\rightarrow 0$。根据换元法，可以将$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$转换为$\lim_{\varphi(x)\rightarrow 0}\dfrac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$。令$\Delta x=\varphi(x)$，则有$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=f'(0)$存在，因此$f(x)$在$x=0$处可导，充分性成立。
步骤 2：必要性证明
若$f'(0)$存在，即极限$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}$存在，令$\Delta x=\varphi(x)$，考虑到$\lim_{x\rightarrow 0}\varphi(x)=0$，因此有$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$存在，必要性成立。
综上所述，$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$存在是$f(x)$在$x=0$处可导的充分必要条件。
考虑到$\lim_{x\rightarrow 0}\varphi(x)=0$，因此当$x\rightarrow 0$时，$\varphi(x)\rightarrow 0$。根据换元法，可以将$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$转换为$\lim_{\varphi(x)\rightarrow 0}\dfrac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$。令$\Delta x=\varphi(x)$，则有$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=f'(0)$存在，因此$f(x)$在$x=0$处可导，充分性成立。
步骤 2：必要性证明
若$f'(0)$存在，即极限$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}$存在，令$\Delta x=\varphi(x)$，考虑到$\lim_{x\rightarrow 0}\varphi(x)=0$，因此有$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$存在，必要性成立。
综上所述，$\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f[\varphi(x)]-f(0)}{\varphi(x)}$存在是$f(x)$在$x=0$处可导的充分必要条件。