题目
求平行于xOz面且经过点 ( 2 , -5 , 3 ) 的平面方程.
求平行于xOz面且经过点 ( 2 , -5 , 3 ) 的平面方程.
题目解答
答案
xOz面的法向量可取
，
，因为所求平面平行于xOz面，
所以所求平面的法向量也可取，
，又因为其经过点 ( 2 , -5 , 3 ) ，
所以根据平面的点法式方程求得平面方程为
，化简得
，
，故答案为.
.解析
步骤 1：确定xOz面的法向量
xOz面的法向量可取$\overrightarrow{n}=(0,1,0)$，因为xOz面的法向量垂直于x轴和z轴，而平行于y轴，所以其法向量的x和z分量为0，y分量为1。
步骤 2：确定所求平面的法向量
因为所求平面平行于xOz面，所以所求平面的法向量也可取$\overrightarrow{n}=(0,1,0)$，即所求平面的法向量与xOz面的法向量相同。
步骤 3：利用点法式方程求平面方程
已知所求平面的法向量$\overrightarrow{n}=(0,1,0)$，且经过点$(2,-5,3)$，根据平面的点法式方程$(x-x_0)n_x+(y-y_0)n_y+(z-z_0)n_z=0$，代入点$(2,-5,3)$和法向量$\overrightarrow{n}=(0,1,0)$，得到$(x-2)0+(y+5)1+(z-3)0=0$，化简得$y+5=0$。
xOz面的法向量可取$\overrightarrow{n}=(0,1,0)$，因为xOz面的法向量垂直于x轴和z轴，而平行于y轴，所以其法向量的x和z分量为0，y分量为1。
步骤 2：确定所求平面的法向量
因为所求平面平行于xOz面，所以所求平面的法向量也可取$\overrightarrow{n}=(0,1,0)$，即所求平面的法向量与xOz面的法向量相同。
步骤 3：利用点法式方程求平面方程
已知所求平面的法向量$\overrightarrow{n}=(0,1,0)$，且经过点$(2,-5,3)$，根据平面的点法式方程$(x-x_0)n_x+(y-y_0)n_y+(z-z_0)n_z=0$，代入点$(2,-5,3)$和法向量$\overrightarrow{n}=(0,1,0)$，得到$(x-2)0+(y+5)1+(z-3)0=0$，化简得$y+5=0$。