题目
函数=(x)^2(e)^y在点P(1,0)处的方向导数的最大值为_______.
函数
在点P(1,0)处的方向导数的最大值为_______.
题目解答
答案
根据函数z的表达式，可以得到
,
.
根据性质，函数的方向导数沿梯度方向最大。
求得gradz=(
)=(
,
).
在P(1,0)处，gradz=(2,1).
所以方向导数的最大值为
.
解析
步骤 1：计算偏导数
根据函数$z={x}^{2}{e}^{y}$，计算其对$x$和$y$的偏导数。
$z_x=2x{e}^{y}$，$z_y={x}^{2}{e}^{y}$.
步骤 2：求梯度
根据偏导数，求出函数在点P(1,0)处的梯度。
gradz=(z_x,z_y)=(2x{e}^{y},{x}^{2}{e}^{y})=(2,1).
步骤 3：计算方向导数的最大值
根据梯度，计算方向导数的最大值。
方向导数的最大值为$\sqrt {{2}^{2}+1}=\sqrt {5}$.
根据函数$z={x}^{2}{e}^{y}$，计算其对$x$和$y$的偏导数。
$z_x=2x{e}^{y}$，$z_y={x}^{2}{e}^{y}$.
步骤 2：求梯度
根据偏导数，求出函数在点P(1,0)处的梯度。
gradz=(z_x,z_y)=(2x{e}^{y},{x}^{2}{e}^{y})=(2,1).
步骤 3：计算方向导数的最大值
根据梯度，计算方向导数的最大值。
方向导数的最大值为$\sqrt {{2}^{2}+1}=\sqrt {5}$.