题目

一、单选题(共20题,100.0分)-|||-10.(单选题,5.0分)-|||-设行列式 D= |} 1& 2& 3& 4 5& 6& 7& 8 9& 10& 11& 12 a& b& c& d | . 则下列正确的是 ()-|||-A gt 0-|||-B .D=0-|||-C .lt 0-|||-D 无法判断

题目解答

答案

原式= 1×6×11×d+5×7×12×d+9×8×3×d-1×6×11×a-5×7×12×a-9×8×3×a=d(195−195a)+a(195−195d)=195(d−a)(d−a) ，
∵a ， b ， c ， d 为互不相等的正数，
∴D\neq 0 ，
又 ∵D 的最后一行是其余行的线性组合，
∴D 的值为零，
故选：B.
B

解析

考查要点：本题主要考查行列式的性质，特别是行线性相关时行列式的值为零的性质。

解题核心思路：观察前3行的规律，发现它们之间存在线性关系，从而推断整个行列式的行向量线性相关，导致行列式值为零。

破题关键点：

  1. 发现前3行的线性相关性：第2行是第1行每个元素加4，第3行是第2行每个元素加4，因此第3行可表示为第1行的线性组合。
  2. 行列式的性质：若矩阵中存在某一行是其他行的线性组合，则行列式值为零。

行列式的行线性相关性分析

  1. 观察前3行的规律：

    • 第1行：$[1, 2, 3, 4]$
    • 第2行：$[5, 6, 7, 8] = [1+4, 2+4, 3+4, 4+4]$
    • 第3行：$[9, 10, 11, 12] = [5+4, 6+4, 7+4, 8+4]$

  2. 推导第3行的线性组合关系：

    • 第3行可表示为：第1行 + 2×(第2行 - 第1行)
    • 即：$[9, 10, 11, 12] = 3 \times [1, 2, 3, 4] - 2 \times [5, 6, 7, 8]$

  3. 结论：前3行线性相关，因此无论第4行如何，整个行列式的行向量线性相关，行列式值为零。