题目
1.设(xn)是赋范空间X中的Cauchy列,证明:(xn)有界.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义Cauchy列
在赋范空间X中，一个序列{xn}被称为Cauchy列，如果对于任意的正实数ε > 0，存在一个正整数N，使得对于所有的m, n > N，都有||xm - xn|| < ε。这里||·||表示赋范空间X中的范数。
步骤 2：选择特定的ε值
为了证明{xn}是有界的，我们首先选择ε = 1。根据Cauchy列的定义，存在一个正整数N，使得对于所有的m, n > N，都有||xm - xn|| < 1。
步骤 3：利用三角不等式
对于任意的n > N，我们有||xn|| = ||xn - xN+1 + xN+1|| ≤ ||xn - xN+1|| + ||xN+1||。由于{xn}是Cauchy列，当n > N时，||xn - xN+1|| < 1，因此||xn|| ≤ 1 + ||xN+1||。
步骤 4：确定有界性
现在，我们考虑序列{xn}的前N项，即{x1, x2, ..., xN}。由于这些项是有限的，它们的范数||x1||, ||x2||, ..., ||xN||也是有限的。我们可以取这些范数的最大值，记为M1。对于n > N，我们已经证明了||xn|| ≤ 1 + ||xN+1||。因此，我们可以取M = max{M1, 1 + ||xN+1||}，这样对于所有的n ∈ N*，都有||xn|| ≤ M。这表明序列{xn}是有界的。
在赋范空间X中，一个序列{xn}被称为Cauchy列，如果对于任意的正实数ε > 0，存在一个正整数N，使得对于所有的m, n > N，都有||xm - xn|| < ε。这里||·||表示赋范空间X中的范数。
步骤 2：选择特定的ε值
为了证明{xn}是有界的，我们首先选择ε = 1。根据Cauchy列的定义，存在一个正整数N，使得对于所有的m, n > N，都有||xm - xn|| < 1。
步骤 3：利用三角不等式
对于任意的n > N，我们有||xn|| = ||xn - xN+1 + xN+1|| ≤ ||xn - xN+1|| + ||xN+1||。由于{xn}是Cauchy列，当n > N时，||xn - xN+1|| < 1，因此||xn|| ≤ 1 + ||xN+1||。
步骤 4：确定有界性
现在，我们考虑序列{xn}的前N项，即{x1, x2, ..., xN}。由于这些项是有限的，它们的范数||x1||, ||x2||, ..., ||xN||也是有限的。我们可以取这些范数的最大值，记为M1。对于n > N，我们已经证明了||xn|| ≤ 1 + ||xN+1||。因此，我们可以取M = max{M1, 1 + ||xN+1||}，这样对于所有的n ∈ N*，都有||xn|| ≤ M。这表明序列{xn}是有界的。