4-1. 群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a,bin G，有a·bin G，如果G的运算还满足：①forall a,b,cin G，有(a·b)·c=a·(b·c)；②exists ein G，使得forall ain G，有ecdot a=acdot e=a，③forall ain G，exists bin G，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有(   )A. G=-mathrm{1,0),1}关于数的乘法构成群B. G=x|x=(1)/(k)，kin Z，kne 0cup x|x=m，min Z，mne 0关于数的乘法构成群C. 实数集关于数的加法构成群D. G=m+sqrt(2)n|m,nin Z关于数的加法构成群

考查要点：本题主要考查群的定义及其验证，需逐一验证每个选项是否满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。

解题核心思路：

1. 封闭性：集合在运算下是否封闭；
2. 结合律：运算是否满足结合律；
3. 单位元：是否存在单位元；
4. 逆元：每个元素是否都有对应的逆元。

破题关键点：

• 选项A：注意0的逆元不存在；
• 选项B：验证封闭性是否被破坏（如分数与整数相乘可能得到非分数非整数的元素）；
• 选项C、D：加法运算天然满足结合律，重点验证单位元和逆元的存在性。

选项A：$G=\{-1,0,1\}$关于数的乘法

1. 封闭性：满足，乘积仍在集合内；
2. 结合律：乘法结合律成立；
3. 单位元：存在$e=1$；
4. 逆元：0没有逆元（因$0 \cdot b = 0 \neq 1$），不满足条件。

结论：不构成群。

选项B：$G=\left\{\frac{1}{k} \mid k \in \mathbb{Z}, k \neq 0\right\} \cup \{m \mid m \in \mathbb{Z}, m \neq 0\}$关于乘法

1. 封闭性：例如$\frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$，但$\frac{3}{2}$既不是$\frac{1}{k}$形式，也不是非零整数，封闭性不成立；
2. 其他条件无需进一步验证。

结论：不构成群。

选项C：实数集关于加法

1. 封闭性：实数相加仍为实数；
2. 结合律：加法结合律成立；
3. 单位元：存在$e=0$；
4. 逆元：每个实数$a$的逆元为$-a$，存在。

结论：构成群。

选项D：$G=\{m+\sqrt{2}n \mid m,n \in \mathbb{Z}\}$关于加法

1. 封闭性：两个元素相加仍为$m+\sqrt{2}n$形式；
2. 结合律：加法结合律成立；
3. 单位元：存在$e=0$（当$m=n=0$时）；
4. 逆元：每个元素$m+\sqrt{2}n$的逆元为$-m-\sqrt{2}n$，存在。

结论：构成群。