【例4.3】设3阶矩阵A=(alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3))，B=(beta_(1),beta_(2),beta_(3)).若向量组alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)可以由向量组beta_(1),beta_(2),beta_(3)线性表示，则（）A. Ax=0的解均为Bx=0的解.B. A^Tx=0的解均为B^Tx=0的解.C. Bx=0的解均为Ax=0的解.D. B^Tx=0的解均为A^Tx=0的解.

考查要点：本题主要考查矩阵的线性表示与齐次线性方程组解的关系，涉及矩阵转置、解空间的包含关系等概念。

解题核心思路：

1. 矩阵线性表示：若向量组$\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$可由$\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\}$线性表示，则存在矩阵$C$使得$A = BC$。
2. 转置关系：对等式$A = BC$取转置，得$A^T = C^T B^T$。
3. 解的包含关系：通过分析方程$A^T x = 0$与$B^T x = 0$的关系，结合矩阵乘法的性质，判断解的包含方向。

破题关键点：

• 选项D的推导：若$x$是$B^T x = 0$的解，则$A^T x = C^T B^T x = C^T \cdot 0 = 0$，即$x$也是$A^T x = 0$的解。

选项分析：

选项A

若$x$是$Ax = 0$的解，则$BCx = 0$，说明$C x$是$Bx = 0$的解，但无法直接推出$x$是$Bx = 0$的解（除非$C$可逆，但题目未说明）。因此选项A错误。

选项B

若$x$是$A^T x = 0$的解，则$C^T B^T x = 0$，说明$B^T x$是$C^T y = 0$的解，但无法直接推出$x$是$B^T x = 0$的解。因此选项B错误。

选项C

若$x$是$Bx = 0$的解，则$Ax = BCx$。由于$Bx = 0$，但$C$的列向量不一定在$B$的零空间中，因此$BCx$不一定为零。选项C错误。

选项D

若$x$是$B^T x = 0$的解，则$A^T x = C^T B^T x = C^T \cdot 0 = 0$，即$x$也是$A^T x = 0$的解。选项D正确。