题目
函数(x)=3(x)^5-5(x)^4的凸区间为(x)=3(x)^5-5(x)^4，凹区间为(x)=3(x)^5-5(x)^4，拐点为(x)=3(x)^5-5(x)^4.
函数
的凸区间为
，凹区间为，拐点为.
题目解答
答案
已知函数
则一导函数
二导函数
所以当
时，
凹凸性及拐点讨论如下：
由表可知
的凹区间为
和
,
凸区间为
,拐点为
和
解析
步骤 1：求一阶导数
对函数$f(x)=3{x}^{5}-5{x}^{4}$求一阶导数，得到$f'(x)=15{x}^{4}-20{x}^{3}$。
步骤 2：求二阶导数
对一阶导数$f'(x)=15{x}^{4}-20{x}^{3}$求二阶导数，得到$f''(x)=60{x}^{3}-60{x}^{2}$。
步骤 3：确定凹凸区间和拐点
令二阶导数$f''(x)=60{x}^{3}-60{x}^{2}=0$，解得$x=0$和$x=1$。根据二阶导数的符号变化，可以确定函数的凹凸区间和拐点。
- 当$x<0$时，$f''(x)<0$，函数为凹。
- 当$0- 当$x>1$时，$f''(x)>0$，函数为凸。
- 函数在$x=0$和$x=1$处的二阶导数为0，且二阶导数的符号在这些点处发生变化，因此$x=0$和$x=1$是函数的拐点。
对函数$f(x)=3{x}^{5}-5{x}^{4}$求一阶导数，得到$f'(x)=15{x}^{4}-20{x}^{3}$。
步骤 2：求二阶导数
对一阶导数$f'(x)=15{x}^{4}-20{x}^{3}$求二阶导数，得到$f''(x)=60{x}^{3}-60{x}^{2}$。
步骤 3：确定凹凸区间和拐点
令二阶导数$f''(x)=60{x}^{3}-60{x}^{2}=0$，解得$x=0$和$x=1$。根据二阶导数的符号变化，可以确定函数的凹凸区间和拐点。
- 当$x<0$时，$f''(x)<0$，函数为凹。
- 当$0
- 函数在$x=0$和$x=1$处的二阶导数为0，且二阶导数的符号在这些点处发生变化，因此$x=0$和$x=1$是函数的拐点。