题目
过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D． （1）求D的面积A； （2）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V．
过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D．
（1）求D的面积A；
（2）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V．
（1）求D的面积A；
（2）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V．
题目解答
答案
建立直角坐标系，作出y=lnx曲线及其过原点的切线．
（1）设切点的横坐标为x0，则曲线y=lnx在点（x0，lnx0）处的切线方程是
y＝lnx0+
| 1 |
| x0 |
由该切线过原点知
lnx0-1=0，从而x0=e．
代入①式得该切线的方程为
y＝
| 1 |
| e |
则利用微元法可知平面图形D的高为dy的微元面积为：
dA=（ey-ey）dy，则D的面积为
A＝
| ∫ |
| 1 |
| 2 |
（2）切线y＝
| 1 |
| e |
V1＝
| 1 |
| 3 |
曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为
V2＝
| ∫ |
因此所求旋转体的体积为
V＝V1−V2＝
| 1 |
| 3 |
| ∫ |
| π |
| 6 |
解析
步骤 1：求切线方程
设切点的横坐标为x_0，则曲线y=lnx在点（x_0，lnx_0）处的切线方程是
y＝lnx0+
1
x0
(x−x0)．
由该切线过原点知
lnx_0-1=0，从而x_0=e．
代入切线方程得该切线的方程为
y＝
1
e
x．
步骤 2：求平面图形D的面积A
利用微元法可知平面图形D的高为dy的微元面积为：
dA=（e^{y}-ey）dy，则D的面积为
A＝
∫
(ey−ey)dy＝
1
2
e−1．
步骤 3：求旋转体的体积V
切线y＝
1
e
x与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积为
V1＝
1
3
πe2．
曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为
V2＝
∫
π(e−ey)2dy，
因此所求旋转体的体积为
V＝V1−V2＝
1
3
πe2−
∫
π(e−ey)2dy＝
π
6
(5e2−12e+3)．
设切点的横坐标为x_0，则曲线y=lnx在点（x_0，lnx_0）处的切线方程是
y＝lnx0+
1
x0
(x−x0)．
由该切线过原点知
lnx_0-1=0，从而x_0=e．
代入切线方程得该切线的方程为
y＝
1
e
x．
步骤 2：求平面图形D的面积A
利用微元法可知平面图形D的高为dy的微元面积为：
dA=（e^{y}-ey）dy，则D的面积为
A＝
∫
(ey−ey)dy＝
1
2
e−1．
步骤 3：求旋转体的体积V
切线y＝
1
e
x与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积为
V1＝
1
3
πe2．
曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为
V2＝
∫
π(e−ey)2dy，
因此所求旋转体的体积为
V＝V1−V2＝
1
3
πe2−
∫
π(e−ey)2dy＝
π
6
(5e2−12e+3)．