求下列函数的微分:-|||-(6) =(e)^-xcos (3-x);-|||-(7) =arcsin sqrt (1-{x)^2};-|||-(8) =(tan )^2(1+2(x)^2);-|||-(9) =arctan dfrac (1-{x)^2}(1+x);-|||-(10) =Asin (omega t+varphi ) (A,w,φ是常数).

考查要点：本题主要考查函数的微分计算，涉及乘积法则、链式法则、反三角函数导数、复合函数求导等知识点。

解题思路：

1. 识别函数结构：判断是否为复合函数、乘积形式或反三角函数；
2. 选择求导法则：根据函数形式选择对应的求导法则（如乘积法则、链式法则）；
3. 化简表达式：对导数结果进行代数化简；
4. 书写微分形式：将导数乘以自变量的微分，得到最终微分表达式。

(6) $y = e^{-x} \cos(3 - x)$

应用乘积法则

设$u = e^{-x}$，$v = \cos(3 - x)$，则：
$y' = u'v + uv' = (-e^{-x})\cos(3 - x) + e^{-x} \sin(3 - x)$

提取公因子

$y' = e^{-x} [\sin(3 - x) - \cos(3 - x)]$

写出微分

$dy = e^{-x} [\sin(3 - x) - \cos(3 - x)] dx$

(7) $y = \arcsin \sqrt{1 - x^2}$

求导公式

$\frac{d}{dx} \arcsin u = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u'$，其中$u = \sqrt{1 - x^2}$：
$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^2)}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{-x}{|x| \sqrt{1 - x^2}}$

分情况讨论

当$x > 0$时，$\frac{-x}{|x|} = -1$；当$x < 0$时，$\frac{-x}{|x|} = 1$，故：
$dy = \begin{cases} \frac{-dx}{\sqrt{1 - x^2}}, & -1 < x < 0 \\\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}, & 0 < x < 1 \end{cases}$

(8) $y = \tan^2(1 + 2x^2)$

外层导数

$\frac{d}{du} \tan^2 u = 2 \tan u \cdot \sec^2 u$，其中$u = 1 + 2x^2$：
$y' = 2 \tan(1 + 2x^2) \cdot \sec^2(1 + 2x^2) \cdot 4x$

化简

$dy = 8x \tan(1 + 2x^2) \sec^2(1 + 2x^2) dx$

(9) $y = \arctan \frac{1 - x^2}{1 + x}$

求导公式

$\frac{d}{dx} \arctan u = \frac{1}{1 + u^2} \cdot u'$，其中$u = \frac{1 - x^2}{1 + x}$：
$y' = \frac{1}{1 + \left(\frac{1 - x^2}{1 + x}\right)^2} \cdot \frac{(-2x)(1 + x) - (1 - x^2)}{(1 + x)^2}$

化简

分子化简后为$-2x(1 + x^2)$，分母化简后为$(1 + x^2)^2$，故：
$dy = -\frac{2x}{1 + x^4} dx$

(10) $s = A \sin(\omega t + \varphi)$

直接求导

$\frac{ds}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \varphi)$

写出微分

$ds = A \omega \cos(\omega t + \varphi) dt$