题目
计算: (int )_(0)^sqrt (2)sqrt (2-{x)^2}dx= ．
计算:
．
题目解答
答案
解:由
,得
.
函数
的图象为以原点为圆心,以
为半径的圆,
由微积分基本定理得
等于圆与
,
及x轴围成的第一象限纯量值映射的面积.
如图,
故
.
故答案为
.
解析
步骤 1：确定积分的几何意义
函数 $y=\sqrt {2-{x}^{2}}$ 的图象为以原点为圆心，以 $\sqrt {2}$ 为半径的圆的上半部分。因此，积分 ${\int }_{0}^{\sqrt {2}}\sqrt {2-{x}^{2}}dx$ 表示的是该圆在第一象限内，从 $x=0$ 到 $x=\sqrt{2}$ 的部分的面积。
步骤 2：计算圆的面积
圆的半径为 $\sqrt{2}$，因此整个圆的面积为 $\pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$。由于积分表示的是圆的四分之一部分，因此积分的值为圆面积的四分之一，即 $\frac{1}{4} \times 2\pi = \frac{\pi}{2}$。
函数 $y=\sqrt {2-{x}^{2}}$ 的图象为以原点为圆心，以 $\sqrt {2}$ 为半径的圆的上半部分。因此，积分 ${\int }_{0}^{\sqrt {2}}\sqrt {2-{x}^{2}}dx$ 表示的是该圆在第一象限内，从 $x=0$ 到 $x=\sqrt{2}$ 的部分的面积。
步骤 2：计算圆的面积
圆的半径为 $\sqrt{2}$，因此整个圆的面积为 $\pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$。由于积分表示的是圆的四分之一部分，因此积分的值为圆面积的四分之一，即 $\frac{1}{4} \times 2\pi = \frac{\pi}{2}$。